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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:06 Mo 07.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Berechne [mm] (x^6+2x^5-x^2-x+2):(x^5+2x^4+x^2+x-2) [/mm] |
Hmm... Kann mir jemand erklären, wie ich die obige Polynomdivision durchführe?
Ich dachte immer, ich könnte Polynomdivision. :(
Vielen Dank
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 07.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechne [mm](x^6+2x^5-x^2-x+2):(x^5+2x^4+x^2+x-2)[/mm]
> Hmm... Kann mir jemand erklären, wie ich die obige
> Polynomdivision durchführe?
>
> Ich dachte immer, ich könnte Polynomdivision. :(
Dann mache es doch andersrum. Für den Fall, dass es ohne Rest lösbar ist, hat der Lösungsterm offensichtlich die Form ax+b, wobei wiederum offensichtlich a=1 sein muss.
Dann müsste [mm] x^6+2x^5-x^2-x+2=(x+b)(x^5+2x^4+x^2+x-2) [/mm] sein. Multipliziere die rechte Seite aus und mache einen Koeffizientenvergleich mit der linken. So erhältst du b.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank
> kiri
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 07.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Okay,
so stelle ich fest, dass es wohl doch einen Rest gibt... Wie gehe ich da vor?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wozu brauchst du die polynomdivision? Wenns für ne Partialbruchzerlegung ist nur bis der Zählergrad<Nennergrad ist, den Rest schreibst du als +Rest/Nenner, wie bei normaler Division 23/7=3 Rest 2, oder 23/7=3+2/7.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mo 07.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Okay,
also die Aufgabe ist etwas anders. Man soll dort den ggT der beiden Polynome finden und da muss ich doch den euklidischen Algortihmus anwenden, oder?
Aber wie mache ich das?
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In diesem Beispiel ist es so, dass der Zähler und der Nenner
einen gemeinsamen Faktor haben. Der "grösste" gemeinsame
Faktor ist ja gesucht.
Probiere also zuerst einmal, den Zähler und den Nenner
separat zu faktorisieren. Dazu ist Polynomdivision dann
durchaus auch nützlich.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mo 07.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Okay,
also ich bin jetzt soweit, dass ich folgendes sagen kann:
[mm] x^6+2x^5-x^2-x+2=(x+2)(x^5-x+1)
[/mm]
[mm] (x^5+2x^4+x^2+x-2)=(x+2)(x^4+x-1)
[/mm]
Aber wie faktorisiere ich weiter? So einfach sind die Nullstellen jetzt ja nicht mehr zu sehen? :-P
Und ist der ggT dann x+2 ??
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die zwei Restpolynome noch ne gemeinsame nullstelle hätten, dann auch p1+p2
das hat aber nur 0 und -1 als Nst also keine von p1 oder p2. bleibt nur noch ein möglicher Faktor [mm] x^2+a, [/mm] a>0 man kann leicht sehen, dass es den auch nicht gibt.
bleibt dein x+2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mo 07.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Okay, verstanden. Super!
Jetzt habe ich noch die Aufgabe, dass ich Polynome A und B finden soll, sodass ggT(F1, F2)=A*F1+B*F2 ist.
Dabei sind F1 und F2 die Polynome aus der Aufgabenstellung. Wie mache ich das denn?
Viele Grüße und Danke
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man macht es genauso wie bei Zahlen. p1 das größere polynom, p2 das kleinere
p1=p2*q1+R1 dabei muss R1 von kleinerem Grad als q1 sein.
p2=R1*q2+R2
q2=r2*q3+R3
usw
bis Rn der ggt ist.
dann rückwärts ggt=Rn=... bis du bei p1 und p2 angekommen bist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 08.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Okay, genau. Und genau da ist mein Problem. Wie führe ich die erste Polynomdivision durch? Kann mir jemand mal einen Schritt vorrechnen, den Rest verstehe ich dann ja und kann es weiter machen.
Vielen Dank und viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erste Division ergibt x. du multiplizierst das 2. Polynom [mm] p2=x^5+.... [/mm] mit x und subtrahierst es vom ersten.
es bleibt als Rest [mm] R1=-2x^3-2x^2-3x+2 [/mm] jetzt p2 durch R1 soweit, dass der Rest einen Grad kleiner 3 hat. usw. Am Ende muss ein Rest x-2 rauskommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 08.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hmm... Es klappt irgendwie noch nicht so richtig...
Schon für den ersten Rest R1 erhalte ich etwas anderes, denn:
[mm] p1-x*p2=x^6+2x^5-x^2-x+2-x(x^5+2x^4+x^2+x-2)
[/mm]
[mm] =x^6+2x^5-x^2-x+2-x^6-2x^5-x^3-x^2+2x
[/mm]
[mm] =-x^3-2x^2+x+2
[/mm]
Also wäre [mm] R1=-x^3-2x^2+x-2
[/mm]
Wenn ich jetzt weiter mache, dann muss ich ja sozusagen p1:R1 rechnen, da erhalte ich zunächst [mm] -x^2
[/mm]
Dann rechne ich doch [mm] p2-(-x^2)*R1=x^5+2x^4+x^2+x-2-x^5-2x^4+x^3-2x^2=x^3-x^2+x-2
[/mm]
Aber dnan habe ich wieder ein Polynom dritten Grades...
Was mache ich falsch? Bitte nochmal um Hilfe. Daaaaanke
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo, wie bei Zahlen, musst du soweit dividieren, dass der Rest kleineren Rang hat als dein voriges Polynom, also den Rest nochmal durch § [mm] -x^3-2x^2+x-2 [/mm] $ teilen, erst dann hast du nen Rest von nur 2. Grad.
Der nächste Schritt dann sollte zum Ziel führen!
jeder richtige Rest muss die Nullstelle -2 haben.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:57 Di 08.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Danke für deine Mühe... Aber irgendwie verstehe ich es noch nicht richtig. Kannst du mal die ersten Schritte nochmal genauer vorrechnen oder vielleicht auch bis zum Ende, so dass ich das einmal komplett richtig sehe? Denn dann verstehe ich es meistens besser und kann die anderen Aufgaben dazu lösen.
Vielen Dank. :)
Grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ersten 1,5 Schritte hast du doch schon. warum machst du nicht die nächste vorgeschlagene Division und schreibst etwa so wie 2 posts zuvor auf. Dann mach ich vielleicht weiter. Ich hab keine Lust das ganze ordentlich zu tippen!
Aber ich lass die Frage halb auf, vielleicht ist sonst jemand eifriger als ich!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 08.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Ok. Ich versuchs nochmal:
$ [mm] p1-x\cdot{}p2=x^6+2x^5-x^2-x+2-x(x^5+2x^4+x^2+x-2) [/mm] $
$ [mm] =x^6+2x^5-x^2-x+2-x^6-2x^5-x^3-x^2+2x [/mm] $
$ [mm] =-x^3-2x^2+x+2 [/mm] $
Wir erhalten also:
$ [mm] R1=-x^3-2x^2+x-2 [/mm] $
Wenn ich jetzt weiter mache, dann muss ich ja sozusagen p1:R1 rechnen, da erhalte ich zunächst [mm] -x^2
[/mm]
Dann rechnet man:
$ [mm] p2-(-x^2)\cdot{}R1=x^5+2x^4+x^2+x-2-x^5-2x^4+x^3-2x^2=x^3-x^2+x-2 [/mm] $
Wir erhalten den Rest [mm] R3=x^3-x^2+x-2.
[/mm]
Nun rechnen wir sozusagen R2:R3 und es ergibt sich zunächst -1.
Also: [mm] R2-R3=x^3-x^2+x-2-(x^3-x^2+x-2)=x^3-x^2+x-2-x^3+x^2-x+2=4
[/mm]
Und nun?? Soweit alles korrekt?
Viele Grüße
kiri
Jetzt rechnen wir weiter:
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Hallo,
hier mal ein bißchen Hilfe zur Selbsthilfe:
![[]](/images/popup.gif) Hier ist ein Zahlenbeipiel zur Bestimmung des ggT mit dem euklidischen Algorithmus vorgerechnet, woran das Prinzip gut zu sehen ist.
Mit Polynomen geht das genauso.
Deine Polynomdivisionen kannst Du dort überprüfen, es wird sogar erklärt, wie's geht.
Es gibt dort auch ein Tool, welches den ggT zweier Polynome liefert, eine schöne Kontrollmöglichkeit, wenn man fertig ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mi 09.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok. Ich versuchs nochmal:
>
> [mm]p1-x\cdot{}p2=x^6+2x^5-x^2-x+2-x(x^5+2x^4+x^2+x-2)[/mm]
> [mm]=x^6+2x^5-x^2-x+2-x^6-2x^5-x^3-x^2+2x[/mm]
> [mm]=-x^3-2x^2+x+2[/mm]
richtig
> Wir erhalten also:
> [mm]R1=-x^3-2x^2+x-2[/mm]
falsch abgeschrieben, hinten steht +2
> Wenn ich jetzt weiter mache, dann muss ich ja sozusagen
> p1:R1 rechnen, da erhalte ich zunächst [mm]-x^2[/mm]
>
> Dann rechnet man:
>
> [mm]p2-(-x^2)\cdot{}R1=x^5+2x^4+x^2+x-2-x^5-2x^4+x^3-2x^2=x^3-x^2+x-2[/mm]
>
> Wir erhalten den Rest [mm]R3=x^3-x^2+x-2.[/mm]
Dann ist der richtige Rest [mm] x^3+2x^2-x-2
[/mm]
>
> Nun rechnen wir sozusagen R2:R3 und es ergibt sich zunächst
> -1.
> Also:
> [mm]R2-R3=x^3-x^2+x-2-(x^3-x^2+x-2)=x^3-x^2+x-2-x^3+x^2-x+2=4[/mm]
>
> Und nun?? Soweit alles korrekt?
Nein hier bleibt [mm] x^2+2x+4 [/mm] als Rest wenn du mit dem oben weiter machst.
Du hast es im Prinzip richtig gemacht, nur leider einen Leichtsinnsfehler eingebracht.
da du ja den ggt kennst, muss dir klar sein, dass jeder Rest auch durch x+2 teilbar sein muss, man kann also Schnell auf die Nullstell -2 nachprüfen.
aber angela hat ja ne Hilfe zum prüfen gefunden, die kannte ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 09.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Okay.... ich habs jetzt endlich raus.... und verstanden! Danke...
Aber wie gebe ich diese Polynome A und B mit ggT(p1,p2)=A*p1+B*p2 an?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 09.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du rückwärts denn jetz A und B raus?
Dann schreib einfach :
[mm] x+2=A*(x^6+......)+B*(x^5+....) [/mm] natürlich für A und B die richtigen Polynome.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 11.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
nein, das ist ja gerade mein Problem.
Ich habe jetzt folgendes:
[mm] F_1=x*F_2+R_1
[/mm]
[mm] F_2=(-x^2-1)*R_1+R_2
[/mm]
[mm] R_1=-x*R_2+R_3
[/mm]
[mm] R_2=x*R_3+0
[/mm]
Wie komme ich jetzt auf diese Polynome A und B?
DANKE!
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Fr 11.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hättest besser die [mm] R_i [/mm] hingeschrieben.
ich hoffe [mm] R_3=x+2 [/mm]
1) [mm]F_1=x*F_2+R_1[/mm]
2) [mm]F_2=(-x^2-1)*R_1+R_2[/mm]
3) [mm]R_1=-x*R_2+R_3[/mm]
3) [mm] R_3=R_1-x*R2 [/mm]
[mm] R_2 [/mm] aus 2) einsetzen
[mm] =R_1-x*(F_2-(-x^2-1)*R_1)=
[/mm]
[mm] R_1 [/mm] aus 1) einsetzen
[mm] =F_1-x*F2 -x*F_2 -(-x^2-1)*(F_1-x*F_2)
[/mm]
jetzt kannst du das noch schön nach [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] ordnen und hast dann
[mm] x-2=A*F_1+B*F_2
[/mm]
Du hättest das besser mal erst mit Zahlen gemacht.z.Bsp drücke 6=ggt(144,210)
als 6=a*210+b*144 aus. nicht raten sondern euklidschen Alg. benutzen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Sa 12.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Wunderbar, alles verstanden. Ich dank dir vielmals! :)
Viele liebe Grüße
kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Sa 12.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo kiri
Die Mitteilung versteh ich überhaupt nicht!
Wo gibt es welchen Rest?
Gruss leduart
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