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| Aufgabe | | Aufgabe 1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) [mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3 [/mm] Bestimmen sie die Nullstellen, die Lage und Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich habe ein kleines Promlem mit der Polynomdivision, ich weiß nicht, ob ich das Folgende richtig gemacht habe, wäre schön, wenn da mal jemand ddrüber schauen könnte. Also, als erste Nullstelle hätte ich durch raten [mm] x_0=1 [/mm] rausbekommen, demnach müste die Division so aussehen:
[mm] (3x^4-12x^3+12x^2-3):(x^2-1)=3x^2-9x+3
[/mm]
[mm] -(3x^4-3x2)
[/mm]
[mm] -9x^3+12x^2
[/mm]
[mm] -(-9x^3+9x)
[/mm]
[mm] 3x^2-3
[/mm]
[mm] -(3x^2-3)
[/mm]
0
Dann würde ich die pq-Formel machen mit [mm] 3x^2-9x [/mm] +3
Ich habe für [mm] x_1=2,62 [/mm] und für [mm] x_2=0,38 [/mm] rausbekommen.
Für den Extremwert habe ich wieder die Polynomdivision gemacht, mit der 1.Ableitung:
[mm] f'(x)=12x^3-36x^2+24x [/mm] durch raten [mm] x_0=1
[/mm]
[mm] (12x^3-36x^2+24x):(x-1)=12x^2-24x
[/mm]
[mm] -(12x^3-12x^2)
[/mm]
[mm] -24x^2+24x
[/mm]
[mm] -(-24x^2+24x) [/mm]
0
Dann wieder pq-Formel und für [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=0, [/mm] das ist die Lage der Extremwerte. Um die Art zu bestimmen setze ich die Nullstellen in die 2. Ableitung ein und erhalte (1/-12) Maximum; (2/24)?; (0/24) Minimum.
Die Lage der Wendepunkte sind bei mir [mm] x_1=1,33 [/mm] und [mm] x_2=0,67.
[/mm]
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Hallo!
Also, ich sehe da zwei Dinge: Wenn eine NST doch 1 ist, dann mußt du durch (x-1) teilen.
Wenn eine zweite bei -1 liegen würde, könntest du durch (x-1) und (x+1), also (x-1) und (x+1)=(x²-1) teilen. Aber bei -1 ist keine NST!
Und dann, wenn du wirklich dadurch teilen wolltest, müßtest du die Potenzen auch sortieren:
[mm]
\vmat{ (&3x^4&-12x^3&+12x^2&+0x&-3)&:(x^2-1)=3x^2-12x
\\ -(&3x^4 &&-3x^2)&
\\ &0x^4&-12x^3&+9x^2&+0x&-3& \text{<- Zwischenergebnis}
\\ &-(&-12x^3 &&+12x)&
\\ &0x^4&-0x^3&+9x^2&-12x&-3& \text{<- Zwischenergebnis}
\\...
[/mm]
Bei dir sind die Potenzen nämlilch arge durcheinander gewürfelt worden.
Aber gut, versuche es erstmal mit meinem ersten Tipp...
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Okay, dann hab ich das ganze jetzt so gemacht:
[mm] (3x^4-12x^3+12x^2-3):(x-1)=3x^3-9x^2+3x-3+6
[/mm]
[mm] -(3x^4-3x^3)
[/mm]
[mm] -9x^3+12x^2
[/mm]
[mm] -(-9x^3+9x2)
[/mm]
[mm] 3x^2-3
[/mm]
[mm] -(3x^2-3x)
[/mm]
-3x-3
-(-3x+3)
-6
-6
0
Ist das so richtig?
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Hallo Chrissi!
Im vorletzten Schritt machst Du einen Vorzeichenfehler:
> [mm](3x^4-12x^3+12x^2-3):(x-1)=3x^3-9x^2+3x-3+6[/mm]
> [mm]-(3x^4-3x^3)[/mm]
> [mm]-9x^3+12x^2[/mm]
> [mm]-(-9x^3+9x2)[/mm]
> [mm]3x^2-3[/mm]
> [mm]-(3x^2-3x)[/mm]
> -3x-3
Hier muss es heißen [mm] $\red{+}3x-3$ [/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Danke, jetzt hab ich trotzdem [mm] 3x^3-9x^2+3x+3 [/mm] raus bekommen. Jetzt muss ich aber doch nochmal die Polynomd. machen, oder? Dann hätte ich bei der nächsten [mm] (3x^3-9x^2+3x+3):(x-1)=3x^2-6x-3
[/mm]
[mm] -(3x^3-3x^2)
[/mm]
[mm] -6x^2+3x
[/mm]
[mm] -(-6x^2+6x)
[/mm]
-3x+3
-(-3x+3)
0
Dann hätte ich als Nullstellen [mm] x_0=1; x_1=2,41; x_2=-0,41 [/mm] Das ist dann wohl richtig. Was ist mit dem rest der Aufgabe? Mit dem Extremwert und dem Wendepunkt? Kann da jemand bitte nochmal schauen?
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Hallo,
> Danke, jetzt hab ich trotzdem [mm]3x^3-9x^2+3x+3[/mm] raus bekommen.
> Jetzt muss ich aber doch nochmal die Polynomd. machen,
> oder? Dann hätte ich bei der nächsten
> [mm](3x^3-9x^2+3x+3):(x-1)=3x^2-6x-3[/mm]
> [mm]-(3x^3-3x^2)[/mm]
> [mm]-6x^2+3x[/mm]
> [mm]-(-6x^2+6x)[/mm]
> -3x+3
> -(-3x+3)
> 0
> Dann hätte ich als Nullstellen [mm]x_0=1; x_1=2,41; x_2=-0,41[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das ist dann wohl richtig. Was ist mit dem rest der
> Aufgabe? Mit dem Extremwert und dem Wendepunkt? Kann da
> jemand bitte nochmal schauen?
Die Extremstellen und deren Art hast du richtig berechnet, setze noch die 3 Stellen [mm] x_0,x_1,x_2 [/mm] (von der 1. Ableitung) in die Funktionsvorschrift f ein, um die Extrempunkte zu bestimmen.
Du hättest es dir etwas einfacher machen können, wenn du bei der 1.Ableitung mal 12x ausgeklammert hättest, aber egal - deine Ergebnisse stimmen 
Bei der Lage der möglichen Wendestellen hab ich etwas leicht anderes heraus, nämlich [mm] $x_{w_1},x_{w_2}=1\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
[/mm]
Also [mm] x_{w_1}\approx [/mm] 1,57 und [mm] x_{w_2}\approx [/mm] 0,42
Vllt kannst du deine Rechnung zu den Extremstellen posten. Dann kann man besser sehen, ob's stimmt
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Chrissi21 |
Vielen Dank. Ich habe meinen Fehler bemerkt, ich hab die Zahl unter der Klammer irgendwie falsch zusammen gezählt. Kann passieren. Is ja eigentlich einfach, die Nullstellen der 2.Ableitung, sieht dann so aus. f´´(x)= [mm] 36x^2-72x+24 [/mm] /:36
[mm] =x^2-2x+0,66 [/mm] und dann einfach pq-Formel. Vielen Dank, dass du mir geholfen hast und mich drauf aufmerksam gemacht hast!
Gruß
Chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Mo 14.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
bei der 1. ableitung würde ich nicht die polynomdivision machen, es geht viel einfacher:
f ' (x) = [mm] 12x^3 -36x^2 [/mm] +24x
einfach x bzw. 12x ausklammern
f ' (x) = 12x [mm] (x^2 [/mm] -3x +2)
der ausdruck ist dann null, wenn einer der faktoren null ist.
d.h. x=0 (1. faktor gleich null)
x=1 oder x=2 (2. faktor gleich null)
fertig.
gruß
wolfgang
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Ich brauch nur ausklammern und die 12x gleich null setzen und den rest dann seperat gleich null setzen? So einfach? Könnte ich es aber auch so lassen?
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Hallo Chrissi!
Es sind beide Varianten möglich ($12x_$ ausklammern oder die  Polynomdivision). Eleganter ist aber schon die Ausklammer-Methode.
Und Du darfst das dann einzeln Gleich-Null-setzen, weil ein Produkt genau dann gleich Null ist, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null ist.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Chrissi,
deine Extremwerte sind richtig. Allerdings kann man sie einfacher berechnen, als Du es getan hast. Wenn die 1. Ableitung
[mm]f_{(x)}' = 12*x^{3}-36*x^{2}+24*x[/mm]
ist, dann klammert man am einfachsten erstmal x aus und hat dann gleich die erste Nullstelle [mm] x_{1} [/mm] = 0 (ohne raten). Das verbleibende quadratische Polynom
[mm]12*x^{2} - 36*x + 24[/mm]
löst man dann mit der p,q-Formel.
Deine Wendepunkte sind leider nicht richtig.
[mm]f_{(x)}'' = 36*x^{2}-72*x+24 = 0[/mm] ergibt
[mm]x_{1} = 1 + \wurzel{\bruch{1}{3}} und x_{2} = 1 - \wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
D. h., [mm] x_{1} \approx [/mm] 1,5774 und [mm] x_{2} \approx [/mm] 0,4226
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte ist [mm] f_{(x)}''' \not= [/mm] 0.
[mm]f_{(x)}''' = 72*x-72[/mm] ist [mm] \not= [/mm] 0 für beide Punkte. Daher handelt es sich um Wendepunkte.
LG, Martinius
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