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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 So 05.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
Das Beispiel soll mit Polynomdivision berechnet werden:
[mm] y=\bruch{x^2}{x-2x+1}=\bruch{x^2}{\left(x-1\right)^2}=\bruch{x^2}{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}
[/mm]
Zuerst habe ich errechnet mittels Polynomdivision:
[mm] x^2:\left(x-1\right)=x+1+\bruch{1}{\left(x-1\right)}
[/mm]
Dann wollte ich dieses Ergebnis nochmals polynomdividieren, aber hier habe ich dann Schwierigkeiten:
[mm] \left(x+1+\bruch{1}{\left(x-1\right)}\right):\left(x-1\right)=1+\bruch{2+\bruch{1}{\left(x-1\right)}}{\left(x-1\right)}=1+\bruch{2x}{\left(x-1\right)}\not=\{1+\bruch{2x-1}{\left(x-1\right)}\}
[/mm]
Das richtige Ergebnis ist in geschweiften Klammern.
Ich mache also einen Fehler, könnt ihr mir helfen? Wie komme ich auf das richtige Zwischenergebnis?
(Die Partialbruchzerlegung macht mir sonst keine Schwierigkeiten.)
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Hallo,
> Es ist ein Rechungsbeispiel aus Wikipedia, dass ich
> nachvollziehen möchte:
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Beispiele
>
> Leider komme ich nicht dahinter, was man bei dem 2. Bsp.
> mit Polynomdivision und Faktorzerlegung errechnete.
> Das Beispiel soll mit Polynomdivision berechnet werden:
>
> [mm]y=\bruch{x^2}{x-2x+1}=\bruch{x^2}{\left(x-1\right)^2}=\bruch{x^2}{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}[/mm]
>
> Zuerst habe ich errechnet mittels Polynomdivision:
>
> [mm]x^2:\left(x-1\right)=x+1+\bruch{1}{\left(x-1\right)}[/mm]
>
Nein, da musst du schon unmittelbar
[mm] x^2:(x-1)^2
[/mm]
ausrechnen.
> Dann wollte ich dieses Ergebnis nochmals polynomdividieren,
Man sagt auch hier einfach nur dividieren. 
> aber hier habe ich dann Schwierigkeiten:
>
> [mm]\left(x+1+\bruch{1}{\left(x-1\right)}\right):\left(x-1\right)=1+\bruch{2+\bruch{1}{\left(x-1\right)}}{\left(x-1\right)}=1+\bruch{2x}{\left(x-1\right)}\not=\{1+\bruch{2x-1}{\left(x-1\right)}\}[/mm]
>
> Das richtige Ergebnis ist in geschweiften Klammern.
>
Das ergibt so überhaupt keinen Sinn, denn es ist auch keine Polynomdivision mehr!
> Ich mache also einen Fehler, könnt ihr mir helfen? Wie
> komme ich auf das richtige Zwischenergebnis?
>
> (Die Partialbruchzerlegung macht mir sonst keine
> Schwierigkeiten.)
Dein Anliegen ist mir ja ehrlich gesagt nicht so ganz klar. Du möchtest einfach nur
[mm] x^2:(x-1)^2=1+\bruch{2x-1}{(x-1)^2}
[/mm]
per Polynomdivision nachrechnen? Dann solltest du in diesem Fall auch genau diese Division durchführen und keine andere. Das Problem am Nichtberücksichtigen der Vielfachheit des Divisors ist in diesem Fall, dass die Division ja logischerweise nicht aufgeht. Also ist bei der Divsion durch (x-1) das Resultat schon ein gebrochen-rationaler Term, der eben kein Polynom mehr ist so dass man eben mit ihm auch keine Polynomdivision durchführen kann.
Falls dich aber doch einfach die Partialbruchzerlegung interessiert: die Polynomdivision ist hier schon getreu dem Motto warum einfach, wenn es auch umständlich geht angeführt. So ist es schöner:
[mm] \frac{x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2}{x^2-2x+1}=\frac{x^2-2x+1+2x-1}{x^2-2x+1}=\frac{x^2-2x+1}{x^2-2x+1}+\frac{2x-1}{x^2-2x+1}=1+\frac{2x-1}{(x-1)^2}
[/mm]
Wobei man da auch den einen oder anderen Schritt auslasssen darf...
Gruß, Diophant
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