Polynom zerlegen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f(X)=\summe_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in \IZ[X] .d:=ggT(a_{0},...,a_{n}).
[/mm]
Also gibt es ein [mm] g(X)\in\IZ[X] [/mm] mit f(X)=d*g(X).
a)Zu zeigen: Wenn es einen Teiler t(X) von g(X) gibt, d.h. g(X)=t(X)s(X), [mm] s(X),t(X)\in\IZ[X]. [/mm] Dann ist ohne Einschränkung [mm] m:=Grad(t(X))<=\bruch{1}{2}n. [/mm] Falls [mm] z_{0},...,z{m}\in\IZ, [/mm] welche werte kann dann [mm] t(z_{i}) [/mm] annehmen? |
Hallo!
Falls also t(X)|g(X) gilt, so folgt auch f(X)=d*g(X)=d*t(X)s(X).
Folglich muss für [mm] t(z_{i}) [/mm] gelten: [mm] t(z_{i})|f(z_{i}).
[/mm]
Ich vermute nun, dass für [mm] t(z_{i})\in\{\pm d,\pm t(z_{i}),\pm 1,\pm s(z_{i})\}
[/mm]
Nun fehlt mir alledings ein stichaltiges Argument weshalb dies gelten sollte. Oder gilt das überhaupt?
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mo 27.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
Den Fall hatten wir gerade hier beim Wickel.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter!
Also ich glaube ich bin zu blöd für diese Sache. So wirklich vertanden habe ich es bisher nicht. Und wie ich es im allgeminen erklären soll ist mir auch schleierhaft.
Trotzdem vielen dank.
Edit: hallo Dieter! Ich habe das nun verstanden, denke ich.
Allerdings hätte ich nun eine konkrete Frage:
Betrachten wir das Polynom [mm] P(X)=X^6+X^2+1
[/mm]
nun möcht ich es zerlegen in ein g und h mit deg(g)=2
ich betrachte die stellen 1,0,-1.
Nun kriege ich aber ganz viele möglichkeiten für ein mögliches g. Wie kann ich diese Möglichkeiten reduzieren?
Grüße Elvis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Di 28.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Betrachten wir das Polynom [mm]P(X)=X^6+X^2+1[/mm]
> nun möcht ich es zerlegen in ein g und h mit deg(g)=2
> ich betrachte die stellen 1,0,-1.
> Nun kriege ich aber ganz viele möglichkeiten für ein
> mögliches g. Wie kann ich diese Möglichkeiten reduzieren?
Erstmal gar nicht, jedenfalls wüßte ich so spontan keinen Weg. Aber wenn ich das richtig abschätze, sind das nur 32 Möglichkeiten, also doch ein Klacks!
Wie an anderer Stelle schon gesagt: Das Verfahren ist hochgradig computerisierbar, weil es eben aus einfachen Rechnungen besteht, die aber mehrmals wiederholt werden müssen.
Viel Spaß.
Dieter
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