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| Aufgabe | Von einem Polynom p(x) vierten Grades weiß man:
- p(x) ist eine gerade Funktion (p(x) = p(-x) für alle x).
- Nullstellen liegen in x1 = 3 und x2 = 6.
- p(0) = -3.
Wie lautet p(x)?
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Hallo,
-In der Aufgabe heißt es, dass es sich um eine gerade Funktion (Achsensymmetrie) handelt. Das alle positiven Funktionswerte = der negativen Funktionswerte sind.
-Die Nullstellen bekannt sind, und damit dei Funktion als Produkt von Linearfaktoren dagestellt werden kann.
p(x) = (x - 3) (x + 3) (x - 6) (x + 6)
-Was fange ich jetzt mit der dritten Aussage an:
- p(0) = -3
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Hallo Tim,
derartige Aufgaben beginnen eigentich immer damit, sich mal so ein allgemeines Polynom 4.Grades hinzuschreiben:
[mm] $p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
[/mm]
Nun die gegebenen Informationen "einbauen"
Die Achsensymmetrie sagt uns, dass ausschließlich gerade Exponenten von $x$ auftreten können (wegen p(-x)=p(x)), also
[mm] $p(x)=ax^4+cx^2+e$
[/mm]
Das sieht doch schon mal besser aus 
Nun die anderen Infos:
Es soll [mm] $p(\red{0})=-3$ [/mm] sein, also [mm] $p(\red{0})=a\cdot{}\red{0}^4+c\cdot{}\red{0}^2+e=e=-3$
[/mm]
Also $e=-3$
Damit ist [mm] $p(x)=ax^4+cx^2-3$
[/mm]
Nun noch die Nullstellen einbauen:
(1) [mm] x_1=3 [/mm] soll NST sein, also [mm] $p(x_1)=0$, [/mm] dh. [mm] $p(3)=a\cdot{}3^4+c\cdot{}3^2-3=0$
[/mm]
Die andere NST baue nun auch mal ein, dann hast du 2 Gleichungen mit den beiden Unbekannten $a$ und $b$, die du dann berechnen kannst.
LG
schachuzipus
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> Von einem Polynom p(x) vierten Grades weiß man:
> - p(x) ist eine gerade Funktion (p(x) = p(-x) für alle
> x).
> - Nullstellen liegen in x1 = 3 und x2 = 6.
> - p(0) = -3.
> Wie lautet p(x)?
>
> Hallo,
> -In der Aufgabe heißt es, dass es sich um eine gerade
> Funktion (Achsensymmetrie) handelt. Das alle positiven
> Funktionswerte = der negativen Funktionswerte sind.
Hallo,
ja.
> -Die Nullstellen bekannt sind, und damit dei Funktion als
> Produkt von Linearfaktoren dagestellt werden kann.
> p(x) = (x - 3) (x + 3) (x - 6) (x + 6)
Deine Überlegung mit der symmetrischen Lage der Nullstellen gefällt mir sehr gut. Dir unterläuft hierbei jedoch ein Fehler: aufgrund der Nullstellenüberlegungen weißt Du, daß Du das gesuchte Polynom schreiben kannst als
p(x) =a (x - 3) (x + 3) (x - 6) (x + 6),
denn es war ja keine rede davon, daß es sich um ein normiertes Polynom handeln soll.
> -Was fange ich jetzt mit der dritten Aussage an:
> - p(0) = -3 .
Und nun bekommst Du auch die Forderung p(0) = -3 sinnvoll eingebaut.
Gruß v. Angela
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