Polynom faktorisierung beweis < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Fr 12.06.2015 | | Autor: | nkln |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei $p \in \IR[X], p(x) = x^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k$,ein normiertes polynom vom Grad $n \ge 1$ mit $n$ paarweise verschiedenen Nullstellen $r_1,...,r_n \in \IR.$ Zeigen Sie:
$i)$ Für alle $x \in \IR$ ist $p(x)= \produkt_{j=1}^{n} (x-r_j).$
$ii) a_0= (-1)^n \cdot}\produkt_{j=1}^{n} r_j$ |
hallooo:)
i)
zuer einmal ist ja $p(x) = x^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k$
und ich wollte induktion über $n$ machen $\forall n \ge 1$
z.Z $\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j) = x^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k$
I.A n=1
$\produkt_{j=1}^{1} (x-r_j) = x^n + \sum_{k=0}^{1-1} a_kx^k$
$ \gdw x-r_1= x+a$
aber ab hier macht das keinen sinn mehr ein koeffizient ist gleich der negativen nullstelle ?
gruß
neil
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Hiho,
> [mm]\gdw x-r_1= x+a[/mm]
>
> aber ab hier macht das keinen sinn mehr ein koeffizient ist
> gleich der negativen nullstelle ?
du unterschlägst ja völlig die Voraussetzungen an das [mm] $r_1$!
[/mm]
Was sollen die [mm] r_i [/mm] denn sein?
Berücksichtige das und da steht eine wahre Aussage. Dein Ansatz ist völlig richtig, aber schreibe es sauber auf.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 13.06.2015 | | Autor: | nkln |
also dann
$ [mm] \gdw x-r_1= [/mm] x+a $
$ [mm] \rightarrow -r_1= [/mm] a $ ware aussage, weil dann wäre der koeffizient die Nullstelle
I.H. $ [mm] \produkt_{j=1}^{n} (x-r_j) [/mm] = [mm] x^n [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k [/mm] $ stimmt für ein festes aber beliebiges $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $n [mm] \ge [/mm] 1$
// zwischen bemerkung da will ich hin [mm] $x^{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n} a_kx^k [/mm] $ //
I.S $n [mm] \mapsto [/mm] n+1 $
$ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} (x-r_j)=\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j)\cdot{}(x-r_{n+1})\overbrace{=}^{I.H.}(x^n [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k) \cdot{}(x-r_{n+1})= x^{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^{k+1} [/mm] - [mm] (x^n [/mm] - [mm] r_{n+1}) [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^{k} \codt{}(r_{n+1})$.
[/mm]
jetzt komme ich nicht weiter ..:/
b)
die b) geht nicht per induktion über n oder `?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Sa 13.06.2015 | | Autor: | hippias |
> also dann
>
> [mm]\gdw x-r_1= x+a[/mm]
> [mm]\rightarrow -r_1= a[/mm] ware aussage, weil
> dann wäre der koeffizient die Nullstelle
Das ist doch ganz verdreht: Du gehst von der zu beweisenden Gleichung aus und schliesst mit den Worten "ware aussage, weil dann wäre der koeffizient die Nullstelle" Das kann ich nicht verstehen. Also: mehr Sorgfalt.
Induktionsvoraussetzung: Sei $n=1$, also [mm] $p=x+a_{1}$. [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] $r_{1}$ [/mm] Nullstelle von $p$. Daher ist [mm] $r_{1}+a_{1}=0$, [/mm] also [mm] $r_{1}=-a_{1}$. [/mm] Folglich ist [mm] $\prod_{i=1}^{n}(x-r_{i})= x-r_{1}= x+a_{1}=p$. [/mm]
Damit ist die Behauptung fuer $n=1$ bewiesen.
>
> I.H. [mm]\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j) = x^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k[/mm]
> stimmt für ein festes aber beliebiges [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]n \ge 1[/mm]
>
> // zwischen bemerkung da will ich hin [mm]x^{n+1} + \sum_{k=0}^{n} a_kx^k[/mm]
> //
>
> I.S [mm]n \mapsto n+1[/mm]
>
> [mm]\produkt_{j=1}^{n+1} (x-r_j)=\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j)\cdot{}(x-r_{n+1})\overbrace{=}^{I.H.}(x^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k) \cdot{}(x-r_{n+1})= [/mm]
Achtung: Weil Du das Produkt ueber eine Teilmenge auswertest, sind diese [mm] $a_{i}$ [/mm] nicht mehr die gleichen Koeffizienten wie in $p$.
> [mm] x^{n+1} [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^{k+1} [/mm] - [mm] (x^n [/mm] - [mm] r_{n+1}) [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a_kx^{k} \codt{}(r_{n+1})[/mm].
[/mm]
>
>
> jetzt komme ich nicht weiter ..:/
Es gibt ein nuetzliches Lemma von Bezout:
Es sei $K$ ein Koerper und $f$ ein Polynom mit Koeffizienten aus $K$. Fuer [mm] $r\in [/mm] K$ gilt: $r$ ist genau dann eine Nullstelle von $f$, wenn es ein Polynom $q$ mit Koeffizienten aus $K$ gibt, sodass $f(x)= (x-r)q(x)$ gilt.
Dies laesst sich fuer Dein Problem sehr gut anwenden.
>
>
> b)
> die b) geht nicht per induktion über n oder '?
Die Behauptung folgt direkt aus a).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Sa 13.06.2015 | | Autor: | nkln |
$ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} (x-r_j)=\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j)\cdot{}(x-r_{n+1})\overbrace{=}^{I.H.}(x^n [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} b_kx^k) \cdot{}(x-r_{n+1}) [/mm] $ dann ist ja mit dem lemma von bezout meine aussage gezeigt dann ist $q(x)= [mm] (x^n [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} b_kx^k)$ [/mm] also dann $f(x)= [mm] (x-r_{n+1})\cdot{}(x^n [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} b_kx^k)= (x-r_{n+1})\cdot{} [/mm] q(x)$
ich seh die folgerung bei der b) nicht..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Sa 13.06.2015 | | Autor: | hippias |
Koenntest Du Deine Beweise bitte ordentlich mitteilen.
> [mm]\produkt_{j=1}^{n+1} (x-r_j)=\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j)\cdot{}(x-r_{n+1})\overbrace{=}^{I.H.}[/mm]
Wie wendest Du denn hier die Induktionsvoraussetzung an? Du hast doch einfach das Teilprodukt ausmultipliziert und nach Potenzen von $x$ sortiert. Was hat das mit Deinem Problem zu tun?
> [mm] (x^n [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n-1} b_kx^k) \cdot{}(x-r_{n+1})[/mm] [/mm]
> dann ist ja mit dem lemma von bezout meine aussage gezeigt
> dann ist [mm]q(x)= (x^n + \sum_{k=0}^{n-1} b_kx^k)[/mm] also dann
> [mm]f(x)= (x-r_{n+1})\cdot{}(x^n + \sum_{k=0}^{n-1} b_kx^k)= (x-r_{n+1})\cdot{} q(x)[/mm]
Das verstehe ich nicht recht. Was soll denn $f$ jetzt sein?
>
> ich seh die folgerung bei der b) nicht..:/
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:06 Sa 13.06.2015 | | Autor: | nkln |
$ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} (x-r_j)$
[/mm]
[mm] $=\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j)\cdot{}(x-r_{n+1})$ \\ [/mm] n+1 komponente aus dem produkt heraus gezogen [mm] \\
[/mm]
[mm] $\overbrace{=}^{I.H.} x^{n}+ \sum_{k=0}^{n-1}b_kx^k \cdot{}(x-r_{n+1}) [/mm] $ [mm] \\ [/mm] Induktionshypothese auf [mm] $\produkt_{j=1}^{n} (x-r_j) [/mm] $ angewendet [mm] \\
[/mm]
da ist immer die stelle an der ich verzweifele. Es tut mir höchsten maße leid,falls ich schlampig kommentiert habe und saubere gearbeitet habe und das ich deine Tipps nicht befolge,weil ich sehe nicht wie ich die umsetzen soll, vielleicht bin ich einfach zu blöd..:/ das tut mir so leid :/
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:53 So 14.06.2015 | | Autor: | nkln |
ich hab die induktion:)
$ [mm] \overbrace{=}^{I.H.} x^{n}+ \sum_{k=0}^{n-1}b_kx^k \cdot{}(x-r_{n+1}) [/mm] $
jetzt kann ich mit dem lemma von bezout folgern
$ [mm] =x^{n+1}+ \sum_{k=0}^{n}a_kx^k [/mm] $
aber wie kann ich die b daraus folgern?
ich weis wenn man z.sbsp [mm] $x^2+2x-1 [/mm] $
das in der $-1$
die nullstelle drin stecken ,aber wie leite ich das aus der $2b)i)$ her?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 14.06.2015 | | Autor: | hippias |
> ich hab die induktion:)
>
> [mm]\overbrace{=}^{I.H.} x^{n}+ \sum_{k=0}^{n-1}b_kx^k \cdot{}(x-r_{n+1})[/mm]
>
> jetzt kann ich mit dem lemma von bezout folgern
>
> [mm]=x^{n+1}+ \sum_{k=0}^{n}a_kx^k[/mm]
Mich ueberzeugt das nicht: Die Induktionshypothese trifft eine Aussage ueber Polynome von der Gestalt [mm] $x^{n}+\sum_{i=0}^{n-1}k_{i}x^{i}$. [/mm] Du aber wendest sie auf ein Produkt von Linearfaktoren an; welches eben gerade die Darstellung des Polynoms ist, deren Existenz Du eigentlich erst nachweisen sollst.
Vielleicht waere ein neuer Ansatz sinnvoller fuer Dich. Etwa: Sei $g$ das Produkt. Welchen Grad hat $f-g$? Wieviele verschiedene Nullstellen hat $f-g$? Usw.
>
> aber wie kann ich die b daraus folgern?
>
> ich weis wenn man z.sbsp [mm]x^2+2x-1[/mm]
> das in der [mm]-1[/mm]
> die nullstelle drin stecken ,aber wie leite ich das aus
> der [mm]2b)i)[/mm] her?
Auch nach mehrmaligen Lesen kann ich das nicht verstehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Di 16.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 15.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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