Polynom 3. Grades < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mi 13.04.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei P ein Polynom dritten Grades mit Koeffizienten aus [mm]\IR[/mm].
(a) Angenommen P ist monisch, d.h. der Koeffizient von [mm]x^3[/mm] ist 1.
Zeigen Sie, dass es ein [mm]k \in \IR[/mm] gibt, sodass für alle [mm]x\in \IR[/mm] gilt:
[mm] x \ge k [/mm] [mm] \Rightarrow P(x) >0[/mm] und
[mm] x \le -k [/mm] [mm] \Rightarrow P(x) <0[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass es ein [mm]x\in \IR[/mm] gibt, mit [mm] P(x)=0[/mm] |
Aufgabenteil (b) bekomm ich glaub ich hin.
Ich kann das Polynom [mm]P(x)=x^3 +ax^2 +bx +c[/mm] durch Substitution ([mm]x=y- \bruch{a}/{3}[/mm]) in ein Polynom überführen ohne zweite Potenz und dann mit der Cardano-Formel eine Lösung für eine Nullstelle des Polynoms finden (zumindest theoretisch  ).
Das war mein "Beweis".
Man könnte auch über den Mittelwertsatz argumentieren, weil die 3.Potzenz stärker wächst als der Rest (ab einem geeigneten x).
Zu Teil (a)
Theoretisch ist mir das klar.
Man hat eigentlich zwei Aussagen:
1. Das Polynom besitzt (mindestens) eine Nullstelle
2. Das Polynom hat nur endlich viele Nullstellen
Aber ich habe keine Idee, wie ich das zeigen soll?!?!
Kann mir jemand bitte einen Tipp geben.
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 13.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
b) folgt aus a mit dem Zwischenwertsatz.
und sicher sollst du keine lösung mit cardano suchen!
in a bestimm einfach ein k in Abhängigkeit von a,b,c
wenn das po [mm] x^3+ax^2+bx+c [/mm] ist
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 13.04.2011 | | Autor: | ella87 |
Ja, das klingt logisch.
Aber wie mache ich das?
Kann man folgendes sagen:
[mm]k^3 +ak^2 +bk +c = 0 [/mm] und [mm]-k^3 +ak^2 -bk +c = 0 [/mm]
Dann bekomme ich die Lösungen:
[mm] k = 0 [/mm] oder [mm] k = +-\wurzel{-b} [/mm]
damit hätte man dann 3 (reelle) Nullstellen, wenn b<0 und sonst nur eine.
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Hallo ella87,
> Ja, das klingt logisch.
> Aber wie mache ich das?
> Kann man folgendes sagen:
>
> [mm]k^3 +ak^2 +bk +c = 0[/mm] und [mm]-k^3 +ak^2 -bk +c = 0[/mm]
>
> Dann bekomme ich die Lösungen:
> [mm]k = 0[/mm] oder [mm]k = +-\wurzel{-b}[/mm]
> damit hätte man
> dann 3 (reelle) Nullstellen, wenn b<0 und sonst nur eine.
>
Ja, das kann man sagen.
Gruss
MathePower
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:35 Do 14.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein das kann man nicht sagen siehe post von reverend
Gruss leduart
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Hallo ella,
> Ja, das klingt logisch.
> Aber wie mache ich das?
> Kann man folgendes sagen:
>
> [mm]k^3 +ak^2 +bk +c = 0[/mm] und [mm]-k^3 +ak^2 -bk +c = 0[/mm]
>
> Dann bekomme ich die Lösungen:
> [mm]k = 0[/mm] oder [mm]k = +-\wurzel{-b}[/mm]
> damit hätte man
> dann 3 (reelle) Nullstellen, wenn b<0 und sonst nur eine.
Es ist aber keineswegs gefordert, dass k und -k Nullstellen des Polynoms sind. Und erst recht ist das nicht sicher vorauszusetzen.
Nimm einfach an, das Polynom habe die Nullstellen [mm] x_{N1}, x_{N2}, x_{N3}\in\IR [/mm] mit [mm] x_{N1}\le x_{N2}\le x_{N3}.
[/mm]
Wie Du siehst, können sie auch zusammenfallen zu ein oder zwei Nullstellen.
Dann gilt [mm] k\ge max(|x_{N1}|,|x_{N3}|).
[/mm]
Spiel das mal für ein paar Werte durch, dann siehst Du, was ich meine.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Do 14.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo,
man kann auch nicht sagen dass das Pol. 3 Nullstellen hat.
wenn es 3 Nst hat, muss man noch sagen warum es links der kleinsten <0 und rechts der größten >0 ist.
du kannst aber einfach zeigen, für x gegen [mm] +\infty [/mm] p>0 und x gegen - infty p<0 also mit zwischenwertsatz mindestens eine nullstelle, sonst 3
dann kanst du dein k aus der oder den nst. bestimmen.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Do 14.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Leduart.
> [...]mindestens eine nullstelle, sonst 3
> dann kanst du dein k aus der oder den nst. bestimmen.
> gruss leduart
Zwei Nullstellen sind aber auch möglich, dann wäre eine aber doppelt.
Bsp: $ [mm] f(x)=(x-5)(x+3)^{2} [/mm] $
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Do 14.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo!
> > [...]mindestens eine nullstelle, sonst 3
> > dann kanst du dein k aus der oder den nst. bestimmen.
> > gruss leduart
>
> Zwei Nullstellen sind aber auch möglich, dann wäre eine
> aber doppelt.
>
> Bsp: [mm]f(x)=(x-5)(x+3)^{2}[/mm]
Ja, und all diese Möglichkeiten sind in meinem Ansatz enthalten. Daher steht da [mm] x_{N1}\blue{\ge} x_{N2}\blue{\ge} x_{N3} [/mm] und eben nicht [mm] x_{N1}>x_{N2}>x_{N3}.
[/mm]
In dieser Ausdrucksweise hat das Polynom mindestens eine Nullstelle und höchstens drei. Allerdings können Nullstellen auch doppelt sein bzw. sogar dreifach.
Grüße
reverend
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