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| Aufgabe | Geben Sie für a= -1 sämtliche Nullstellen des Polynoms in Polardarstellung an und skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene
pa(z) = [mm] z^3 [/mm] + [mm] 3*a*z^2+3*a^2*z+a^3-1 [/mm] |
Ich rechne gerade Altklausuren durch, komme hier aber irgendwie nicht weiter.
Ich habe bisher gemacht:
für a = -1 lautet das Polynom
p(x) = [mm] z^3 [/mm] - [mm] 3*z^2 [/mm] + 3* z - 2 , also
[mm] z^3 [/mm] - [mm] 3*z^2 [/mm] + 3* z - 2 = 0 , da ich Nullstellen suche
nun habe ich [mm] z^3 [/mm] mit u substituiert
u - 3/u + [mm] 3/(u^2) [/mm] -2 = 0
und das ganze dann wie folgt umgeformt
u - (3u + 3) / [mm] (u^2) [/mm] -2 = 0
=> - (3u + 3) [mm] /(u^2) [/mm] -2 = -u
bzw. (3u + [mm] 3)/(u^2) [/mm] = u +2
Nur irgendwie bringt mich das überhaupt nicht weiter. Hat jemand eine Idee? Gibt es ein Rezept für solche Gleichungen?
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Hallo blauwalangler,
Ich sehe nicht, wie die Substitution dich entscheidend weiter bringt, aber hier würde ich erstmal eine NST von [mm] $p_{-1}(z)=z^3-3z^2+3z-2$ [/mm] raten.
Und voilà, $z=2$ tut's 
Also schwupp ne Polynomdivision machen und $(z-2)$ abspalten.
Das quadratische Polynom, was du dann erhältst, kannst du nett mit quadr. Ergänzung verarzten. Es gibt da 2 komplexe NST
LG
schachuzipus
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Hi,
Polynomdivision habe ich schon gemacht und entsprechende Nullstellen. Ich wollte eigentlich nur wissen, ob ich das Teil nicht auch mit Substitution kleinbekomme.
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 01.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Polynome 3ten oder höheren Grades werden durch Substitution immer nur schrecklicher, es sei denn, du hast nur grade Exponenten, dann halbiert [mm] z^2=p [/mm] die Ordnung.
Gruss leduart
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> Ich wollte eigentlich nur wissen, ob ich das
> Teil nicht auch mit Substitution kleinbekomme.
Hallo,
Du bekommst es klein: mit den ![[]](/images/popup.gif) Formeln von Cardano.
Wenn man das einmal gemacht hat, ist man meist kuriert und verlegt sich aufs fröhliche Nullstellenraten...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 01.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Geben Sie für a= -1 sämtliche Nullstellen des Polynoms in
> Polardarstellung an und skizzieren Sie in der komplexen
> Zahlenebene
>
> pa(z) = [mm]z^3[/mm] + [mm]3*a*z^2+3*a^2*z+a^3-1[/mm]
Dieses Polynom lässt sich schreiben:
[mm]p_a(z) = (z+a)^3-1[/mm]
Damit ist es ganz einfach die drei Nullstellen für a=-1 zu bestimmen: nämlich 1 plus je eine der drei dritten Einheitswurzeln.
Viele Grüße
Rainer
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