Polynom 3.Grades < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Es handelt sich um eine nicht maßstäbliche Skizze des Graphen eines Polynoms dritten Grades.Bestimmen Sie deren Funktionsgleichung. |
Hallo zusammen^^
Ich hab hier ne Aufgabe ,bei der ich echt nicht mehr weiterkomme,ein paar andere Leute aus unserm Kurs haben sie auch schon versucht,aber keiner von uns konnte sie lösen.
Deshalb frag ich jetzt euch um Hilfe.
Ich hab mal mit dem allgemeinen Ansatz angefangen; [mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}+\bruch{1}{2}cx^{2}+dx
[/mm]
Der Inhalt der gestrichelten gelben Flächen beträgt ja [mm] A=\bruch{8}{3}
[/mm]
Also hab ich mal ein Integral aufgestellt : [mm] \integral_{0}^{a}{ax^{3}+bx^{2}+cx+d dx}=[\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}+\bruch{1}{2}cx^{2}+dx]
[/mm]
und dann hab ich noch das Integral versucht zu berechnen,aber da kommt bei mir was seltsames raus.
Könnt ihr mir Tipps geben,wie ich weiterrechnen könnte?
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy_90,
> Es handelt sich um eine nicht maßstäbliche Skizze des
> Graphen eines Polynoms dritten Grades.Bestimmen Sie deren
> Funktionsgleichung.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab hier ne Aufgabe ,bei der ich echt nicht mehr
> weiterkomme,ein paar andere Leute aus unserm Kurs haben sie
> auch schon versucht,aber keiner von uns konnte sie lösen.
> Deshalb frag ich jetzt euch um Hilfe.
>
>
> Ich hab mal mit dem allgemeinen Ansatz angefangen;
> [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx[/mm]
>
> [mm]F(x)=\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}+\bruch{1}{2}cx^{2}+dx[/mm]
>
> Der Inhalt der gestrichelten gelben Flächen beträgt ja
> [mm]A=\bruch{8}{3}[/mm]
> Also hab ich mal ein Integral aufgestellt :
> [mm]\integral_{0}^{a}{ax^{3}+bx^{2}+cx+d dx}=[\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}+\bruch{1}{2}cx^{2}+dx][/mm]
>
> und dann hab ich noch das Integral versucht zu
> berechnen,aber da kommt bei mir was seltsames raus.
> Könnt ihr mir Tipps geben,wie ich weiterrechnen könnte?
Um Konflikte zu vermeiden, nenne das Polynom doch so:
[mm]f\left(x\right)=a_{3}*x^{3}+a_ {2}*x^{2}+a_{1}*x+a_{0}[/mm]
Es gibt noch weitere Bedingungen, die aus dem Bild erkennbar sind.
Damit sind die Koeffizienten des Polynoms und das a eindeutig bestimmt.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> lg
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ist vielleicht [mm] a_{2}=\bruch{2}{3}???
[/mm]
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> Ist vielleicht [mm]a_{2}=\bruch{2}{3}???[/mm]
Aus dem Bild erkennst Du, dass diese ganzrationale Funktion dritten Grades bei $x=0$ eine (mindestens) doppelte und bei $x=a$ eine einfache Nullstelle besitzen muss. Daher kannst Du den Ansatz [mm] $f(x)=a_3\cdot x^2\cdot [/mm] (x-a)$ machen.
Grund: ist [mm] $x_0$ [/mm] eine [mm] $n_0$-fache [/mm] Nullstelle einer ganzrationalen Funktion $f(x)$ vom Grad $n$, so lässt sich $f(x)$ in der Form [mm] $f(x)=(x-x_0)^{n_0}g(x)$ [/mm] schreiben, wobei $g(x)$ eine ganzrationale Funktion vom Grad [mm] $n-n_0$ [/mm] mit [mm] $g(x_0)\neq [/mm] 0$ ist.
Die Werte von [mm] $a_3$ [/mm] und $a$ kannst Du dann aus der Bedingung für den Hochpunkt und den Flächeninhalt bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Aus dem Bild erkennst Du, dass diese ganzrationale Funktion
> dritten Grades bei [mm]x=0[/mm] eine (mindestens) doppelte und bei
> [mm]x=a[/mm] eine einfache Nullstelle besitzen muss.
ok,dass eine Nullstelle bei x=0 und bei a=0 ist,sehe ich,aber was ist denn eine doppelte Nullstelle?
>Daher kannst du den Ansatz [mm]f(x)=a_3\cdot x^2\cdot (x-a)[/mm] machen.
Ich versteh noch nicht,wieso da jetzt [mm] a_3*x^2 [/mm] steht,wie kommt man drauf?
> Grund: ist [mm]x_0[/mm] eine [mm]n_0[/mm]-fache Nullstelle einer
> ganzrationalen Funktion [mm]f(x)[/mm] vom Grad [mm]n[/mm], so lässt sich [mm]f(x)[/mm]
> in der Form [mm]f(x)=(x-x_0)^{n_0}g(x)[/mm] schreiben, wobei [mm]g(x)[/mm]
> eine ganzrationale Funktion vom Grad [mm]n-n_0[/mm] mit [mm]g(x_0)\neq 0[/mm]
> ist.
>
> Die Werte von [mm]a_3[/mm] und [mm]a[/mm] kannst Du dann aus der Bedingung
> für den Hochpunkt und den Flächeninhalt bestimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Unter eine doppelten Nullstelle versteht man einen x-Wert, der sowohl Nullstelle der Ausgangsfunktion als auch Nullstelle der 1. Ableitung ist.
Beim anschließenden Schritt hat Mathepower diese Erkenntnis über die 3 Nullstellen angewandt. Denn ein Polynom 3. Grades mit 3 Nullstellen lässt sich wie folgt darstellen:
$$f(x) \ = \ [mm] A*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)$$
[/mm]
Und hier gilt ja: [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_2 [/mm] \ = \ 0$ sowie [mm] $x_3 [/mm] \ = \ a$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ist vielleicht [mm]a_{2}=\bruch{2}{3}???[/mm]
>
> Aus dem Bild erkennst Du, dass diese ganzrationale Funktion
> dritten Grades bei [mm]x=0[/mm] eine (mindestens) doppelte und bei
> [mm]x=a[/mm] eine einfache Nullstelle besitzen muss. Daher kannst Du
> den Ansatz [mm]f(x)=a_3\cdot x^2\cdot (x-a)[/mm] machen.
> Grund: ist [mm]x_0[/mm] eine [mm]n_0[/mm]-fache Nullstelle einer
> ganzrationalen Funktion [mm]f(x)[/mm] vom Grad [mm]n[/mm], so lässt sich [mm]f(x)[/mm]
> in der Form [mm]f(x)=(x-x_0)^{n_0}g(x)[/mm] schreiben, wobei [mm]g(x)[/mm]
> eine ganzrationale Funktion vom Grad [mm]n-n_0[/mm] mit [mm]g(x_0)\neq 0[/mm]
> ist.
Ist g(x) dann in unserem Fall f(x)? Wenn ich nämlich die Werte einsetze hab ich doch [mm] (x-0)^{2}-_{3} [/mm] stehn oder nicht?
> Die Werte von [mm]a_3[/mm] und [mm]a[/mm] kannst Du dann aus der Bedingung
> für den Hochpunkt und den Flächeninhalt bestimmen.
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Hallo Mandy_90,
> > > Ist vielleicht [mm]a_{2}=\bruch{2}{3}???[/mm]
> >
> > Aus dem Bild erkennst Du, dass diese ganzrationale Funktion
> > dritten Grades bei [mm]x=0[/mm] eine (mindestens) doppelte und bei
> > [mm]x=a[/mm] eine einfache Nullstelle besitzen muss. Daher kannst Du
> > den Ansatz [mm]f(x)=a_3\cdot x^2\cdot (x-a)[/mm] machen.
> > Grund: ist [mm]x_0[/mm] eine [mm]n_0[/mm]-fache Nullstelle einer
> > ganzrationalen Funktion [mm]f(x)[/mm] vom Grad [mm]n[/mm], so lässt sich [mm]f(x)[/mm]
> > in der Form [mm]f(x)=(x-x_0)^{n_0}g(x)[/mm] schreiben, wobei [mm]g(x)[/mm]
> > eine ganzrationale Funktion vom Grad [mm]n-n_0[/mm] mit [mm]g(x_0)\neq 0[/mm]
> > ist.
>
> Ist g(x) dann in unserem Fall f(x)? Wenn ich nämlich die
> Werte einsetze hab ich doch [mm](x-0)^{2}-_{3}[/mm] stehn oder
> nicht?
nein, kümmere dich im Moment nicht um die Begründung, sondern arbeite mit dem Ansatz
[mm] f(x)=a_3*x^2*(x-a) [/mm] weiter.
Er sit plausibel, weil man sofort ablesen kann, dass zwei Bedingungen, die man an der Zeichnung ablesen kann, schon erfüllt sind:
[mm] f(0)=a_3*0^2*(0-a)=0 [/mm] offensichtlich
f'(0)=0 --> nachrechnen!
[mm] f(a)=0=a_3*a^2*(a-a) [/mm] offenbar auch richtig
Jetzt hast du nur noch eine Bedingung aus der Zeichnung nicht benutzt:
[mm] A=\bruch{8}{3}=\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=a_3*\integral_{0}^{a}{(x^3-ax^2) dx}
[/mm]
Wenn du dieses Integral ausrechnest, erhältst du eine Gleichung, in der [mm] a_3 [/mm] von a abhängt und damit bestimmbar ist.
Ich überlege gerade, ob der Ansatz tatsächlich richtig ist, weil nirgendwo die Bedingung des zweiten Extrempunkts bei [mm] x=\bruch{2}{3}a [/mm] vorkommt.
Aber probier erst mal, mit diesen Überlegungen weiter zu kommen. Ich mache mir auch noch mal Gedanken...
ok, der Ansatz ist korrekt, er liefert "automatisch" die 2. Extremstelle bei [mm] x=\bruch{2}{3}a [/mm] . Prüf's nochmal!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ist g(x) dann in unserem Fall f(x)? Wenn ich nämlich die
> > Werte einsetze hab ich doch [mm](x-0)^{2}-_{3}[/mm] stehn oder
> > nicht?
> nein, kümmere dich im Moment nicht um die Begründung,
> sondern arbeite mit dem Ansatz
ok,dann rechne ich das jetzt einfach mal ohne zu fragen wieso und warum.
> [mm]f(x)=a_3*x^2*(x-a)[/mm] weiter.
> Er sit plausibel, weil man sofort ablesen kann, dass zwei
> Bedingungen, die man an der Zeichnung ablesen kann, schon
> erfüllt sind:
> [mm]f(0)=a_3*0^2*(0-a)=0[/mm] offensichtlich
> f'(0)=0 --> nachrechnen!
> [mm]f(a)=0=a_3*a^2*(a-a)[/mm] offenbar auch richtig
>
> Jetzt hast du nur noch eine Bedingung aus der Zeichnung
> nicht benutzt:
>
> [mm]A=\bruch{8}{3}=\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=a_3*\integral_{0}^{a}{(x^3-ax^2) dx}[/mm]
>
> Wenn du dieses Integral ausrechnest, erhältst du eine
> Gleichung, in der [mm]a_3[/mm] von a abhängt und damit bestimmbar
> ist.
Wenn ich das Integral ausrechne,komme ich auf [mm] -\bruch{1}{12}a^{4}*a_{3}=\bruch{8}{3} [/mm] --> [mm] a^{4}*a_{3}=-32 [/mm] --> [mm] -\bruch{32}{a^{4}}=a_{3}
[/mm]
Jeztz hängt [mm] a_{3} [/mm] von a ab,aber wie soll ich das denn wieterrechnen?
> Ich überlege gerade, ob der Ansatz tatsächlich richtig ist,
> weil nirgendwo die Bedingung des zweiten Extrempunkts bei
> [mm]x=\bruch{2}{3}a[/mm] vorkommt.
>
> Aber probier erst mal, mit diesen Überlegungen weiter zu
> kommen. Ich mache mir auch noch mal Gedanken...
>
> ok, der Ansatz ist korrekt, er liefert "automatisch" die 2.
> Extremstelle bei [mm]x=\bruch{2}{3}a[/mm] . Prüf's nochmal!
>
> Gruß informix
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Hallo Mandy_90,
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> > > Ist g(x) dann in unserem Fall f(x)? Wenn ich nämlich die
> > > Werte einsetze hab ich doch [mm](x-0)^{2}-_{3}[/mm] stehn oder
> > > nicht?
> > nein, kümmere dich im Moment nicht um die Begründung,
> > sondern arbeite mit dem Ansatz
>
> ok,dann rechne ich das jetzt einfach mal ohne zu fragen
> wieso und warum.
>
> > [mm]f(x)=a_3*x^2*(x-a)[/mm] weiter.
> > Er sit plausibel, weil man sofort ablesen kann, dass
> zwei
> > Bedingungen, die man an der Zeichnung ablesen kann, schon
> > erfüllt sind:
> > [mm]f(0)=a_3*0^2*(0-a)=0[/mm] offensichtlich
> > f'(0)=0 --> nachrechnen!
> > [mm]f(a)=0=a_3*a^2*(a-a)[/mm] offenbar auch richtig
> >
> > Jetzt hast du nur noch eine Bedingung aus der Zeichnung
> > nicht benutzt:
> >
> > [mm]A=\bruch{8}{3}=\integral_{0}^{a}{f(x) dx}=a_3*\integral_{0}^{a}{(x^3-ax^2) dx}[/mm]
>
> >
> > Wenn du dieses Integral ausrechnest, erhältst du eine
> > Gleichung, in der [mm]a_3[/mm] von a abhängt und damit bestimmbar
> > ist.
>
> Wenn ich das Integral ausrechne,komme ich auf
> [mm]-\bruch{1}{12}a^{4}*a_{3}=\bruch{8}{3}[/mm] --> [mm]a^{4}*a_{3}=-32[/mm]
> --> [mm]-\bruch{32}{a^{4}}=a_{3}[/mm]
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Das habe ich auch raus!
>
> Jeztz hängt [mm]a_{3}[/mm] von a ab,aber wie soll ich das denn
> wieterrechnen?
>
einsetzen: [mm] f(x)=a_3*x^2*(x-a) [/mm] mit [mm] a_3=-\bruch{32}{a^{4}}
[/mm]
du erkennst: [mm] a_3<0 [/mm] was mit der Zeichnung zusammenpasst.
Jetzt überprüfst du noch im Sinne einer Probe, ob auch die anderen Bedingungen erfüllt sind - und hast die Aufgabe gelöst!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Jeztz hängt [mm]a_{3}[/mm] von a ab,aber wie soll ich das denn
> > wieterrechnen?
> >
> einsetzen: [mm]f(x)=a_3*x^2*(x-a)[/mm] mit [mm]a_3=-\bruch{32}{a^{4}}[/mm]
> du erkennst: [mm]a_3<0[/mm] was mit der Zeichnung zusammenpasst.
>
> Jetzt überprüfst du noch im Sinne einer Probe, ob auch die
> anderen Bedingungen erfüllt sind - und hast die Aufgabe
> gelöst!
ok,aber bevor ich die Probe mache,hab ich noch eine Frage,lautet meine Gleichung dann [mm] f(x)=-\bruch{32}{a^{4}}*x^{2}*(x-a) [/mm] ?
Wenn ja dann versteh ich nicht warum,weil das ja eine Gleichung 3.Grades sein sollte,aber da ist doch nirgends Grad 3?
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Hi Mandy,
> ok,aber bevor ich die Probe mache,hab ich noch eine
> Frage,lautet meine Gleichung dann
> [mm]f(x)=-\bruch{32}{a^{4}}*x^{2}*(x-a)[/mm] ?
> Wenn ja dann versteh ich nicht warum,weil das ja eine
> Gleichung 3.Grades sein sollte,aber da ist doch nirgends
> Grad 3?
Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet und habe auch nicht alles verfolgt welche antworten du gekommen hast und wie du sie verarbeitet hast aber [mm] \\f(x) [/mm] so wie du es aufgeschrieben hast ist doch eine Funktion dritten Grades. Multiplizier doch mal aus.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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