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| Aufgabe | Also, ich sitze an einen mathematisches Problem wo ich einfach nicht weiterkomme, da ich mehrere Tage und Nächte schon dran saß wie ich es beweisen könnte. Daher bitte ich jemanden mir diese Aufgabe zu lösen.
Teilaufgabe a
Man zeige: Falls für das Polynom P(x,y) die Identität
(1) P(x-1, y-2x+1)=P(x,y)
gilt, so existiert ein Polynom R(x), so dass
(2) [mm] P(x,y)=R(y-x^2).
[/mm]
Teilaufgabe b
Man finde alle Polynome P(x,y), die der Gleichung
(3) P(x-1, y-2x-1)=P(x,y)
genügen.
Achtung: Gleichung (3) unterscheidet sich von Gleichung (1).
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Also, ich sitze an einen mathematisches Problem wo ich einfach nicht weiterkomme, da ich mehrere Tage und Nächte schon dran saß wie ich es beweisen könnte. Daher bitte ich jemanden mir diese Aufgabe zu lösen, damit ich bei anderen Aufgaben dieser Art besser zurecht komme.
PS.: Es könnte hilfreich sein bei Teilaufgabe a $ [mm] y=x^2+z [/mm] $ zu substituieren, aber ich hab danach trotzdem keinen so richtigen Plan gehabt wie ich an die Sache rangehe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Polynom-62 und habe auch schon beim Bereich Obertufe Mathe gestellt, aber da konnte mir keiner so richtig helfen. Daher wende ich mich jetzt an die Hochschullehrer ob ihr einen Plan hättet dieses Problem zu lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 So 11.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Bitte keine Doppelpostings: Du hast die Frage schon hier gestellt: https://matheraum.de/read?i=597065 .
Halte dich bitte an die Forenregeln.
Viele Grüße
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Kann ich dann den anderen Eintrag löschen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich nehme mal an, dass dein Grundkoerper $K$ von Charakteristik 0 ist, also etwa $K = [mm] \IQ$, [/mm] $K = [mm] \IR$ [/mm] oder $K = [mm] \IC$.
[/mm]
> Also, ich sitze an einen mathematisches Problem wo ich
> einfach nicht weiterkomme, da ich mehrere Tage und Nächte
> schon dran saß wie ich es beweisen könnte. Daher bitte
> ich jemanden mir diese Aufgabe zu lösen.
>
> Teilaufgabe a
>
> Man zeige: Falls für das Polynom P(x,y) die Identität
>
> (1) P(x-1, y-2x+1)=P(x,y)
>
> gilt, so existiert ein Polynom R(x), so dass
>
> (2) [mm]P(x,y)=R(y-x^2).[/mm]
Erstmal: Ist
> PS.: Es könnte hilfreich sein bei Teilaufgabe a [mm]y=x^2+z[/mm] zu
> substituieren, aber ich hab danach trotzdem keinen so
> richtigen Plan gehabt wie ich an die Sache rangehe.
ein Tipp, den ihr dazu bekommen habt? Verwende ihn doch mal.
Die Abbildung [mm] $\Psi [/mm] : K[x, y] [mm] \to [/mm] K[x, z]$, $x [mm] \mapsto [/mm] x$, $y [mm] \mapsto [/mm] z + [mm] x^2$ [/mm] ist ein Isomorphismus (warum?). Die Gleichung $P(x - 1, y - 2 x + 1) = P(x, y)$ wird also ueberfuehrt zu $P(x - 1, z + (x - [mm] 1)^2) [/mm] = P(x, z + [mm] x^2)$.
[/mm]
Setze $R := P(x, z + [mm] x^2) \in [/mm] K[x, z]$. Betrachte nun den Automorphismus [mm] $\Phi [/mm] : K[x, z] [mm] \to [/mm] K[x, z]$, $x [mm] \mapsto [/mm] x - 1$, $z [mm] \mapsto [/mm] z$. Dann gilt [mm] $\Phi(R) [/mm] = R$. Daraus folgt, dass $R [mm] \in [/mm] K[z]$ ist (warum?), also ist $P(x, z + [mm] x^2) [/mm] = R(z)$.
Wenn du nun [mm] $\Psi^{-1}$ [/mm] auf $P(x, z + [mm] x^2) [/mm] = R(z)$ anwendest, bekommst du $P(x, y) = R(y - [mm] x^2)$.
[/mm]
LG Felix
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ähm...
kann man das auch so schreiben, dass es für einen Schüler der 11.Klasse verständbar ist, weil Automorphismus und ISomorphismus. Diese Begriffe hatten wir noch nie im Mathezirkel erwähnt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ähm...
>
> kann man das auch so schreiben, dass es für einen Schüler
> der 11.Klasse verständbar ist, weil Automorphismus und
> ISomorphismus. Diese Begriffe hatten wir noch nie im
> Mathezirkel erwähnt
Also:
Das Anwenden von [mm] $\Psi$ [/mm] ist einfach eine Substitution $y = z + [mm] x^2$. [/mm] Das Anwenden von [mm] $\Psi^{-1}$ [/mm] am Ende ist einfach die Ruecksubstitution $z = y - [mm] x^2$.
[/mm]
Und das mit dem Automorphismus in der Mitte bedeutet: hast du ein Polynom mit $Q(x - 1, y) = Q(x, y)$, dann haengt $Q$ nicht von $x$ ab.
Da ich nicht weiss wie ihr Polynome in zwei Unbestimmten schreibt und was ihr dazu hattet, fuehre ich das nicht naeher aus; ich wuerde einfach eine konkrete Darstellung mit Koeffizienten nehmen, $x - 1$ einsetzen, binomischen Lehrsatz anwenden, und Vergleichen was auf beiden Seiten steht.
(Rein algebraisch kann man da viel schoener argumentieren, mit Quotientenkoerpern und Zerfaellungskoerpern.)
LG Felix
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OK
ich hab das jetzt schon zu 70% prozent verstanden. Nur frage ich mich was du mit psi:K(x,y)... meinst (also auch noch diese Zuordnung) und das phi(R)R, das habe ich auch nicht verstanden, was damit ausgedrückt werden soll.
Es wäre nett, diese Sachen noch zu klären^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich hab das jetzt schon zu 70% prozent verstanden. Nur
> frage ich mich was du mit psi:K(x,y)... meinst (also auch
Erstmal: es heisst $K[x, y]$ und nicht $K(x, y)$. Das ist ein Polynomring in zwei Unbestimmten $x, y$ mit dem Grundkoerper $K$.
Und [mm] $\Psi$ [/mm] ist eine Abbildung, die von $K[x, y]$ nach $K[x, z]$ abbildet.
> noch diese Zuordnung) und das phi(R)R, das habe ich auch
> nicht verstanden, was damit ausgedrückt werden soll.
> Es wäre nett, diese Sachen noch zu klären^^
Es geht um Abbildungen. Oder auch Funktionen (wie man das nun nennen will). Das gehoert alles zum Teil den du ignorieren kannst.
Nochmal zusammengefasst:
Wenn man $z = y + [mm] x^2$ [/mm] substituiert, erhaelt man die Gleichung $P(x - 1, z + (x - [mm] 1)^2) [/mm] = P(x, z + [mm] x^2)$.
[/mm]
Setze $R := P(x, z + [mm] x^2)$. [/mm] Dann gilt $R(x, z) = R(x - 1, z)$. Daraus folgt jetzt, dass $R$ nicht von $x$ abhaengt, also dass $R(x, z) = R(z)$ gilt fuer ein Polynom $R(x)$.
Wenn du nun Resubstituierst, also $z = y - [mm] x^2$, [/mm] erhaelst du $P(x, y) = R(y - [mm] x^2)$.
[/mm]
Nun verstaendlich?
Fehlt jetzt nur noch der Zwischenschritt: warum folgt aus $R(x, z) = R(x - 1, z)$, dass $R$ nicht von $x$ abhaengt?
LG Felix
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| Aufgabe | Teilaufgabe b
Man finde alle Polynome P(x,y), die der Gleichung
(3) P(x-1, y-2x-1)=P(x,y)
genügen.
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OK, und wie würde man diese aufgabe lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Teilaufgabe b
>
> Man finde alle Polynome P(x,y), die der Gleichung
>
> (3) P(x-1, y-2x-1)=P(x,y)
>
> genügen.
>
> OK, und wie würde man diese aufgabe lösen?
Genauso. Du substituierst $y = z + [mm] x^2$.
[/mm]
Dann musst du dir ueberlegen, warum ein Polynom $Q(x, z)$ mit $Q(x - 1, z - 2) = Q(x, z)$ konstant sein muss.
LG Felix
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