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Polynom: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Fr 16.05.2008
Autor: Aleksa

Aufgabe
Es sei f=g⋅h∈k[t] ein Polynom und V→V∈{End(V)}.
Beweisen Sie ausführlich, dass:
g(φ)∘{h(φ)}=h(φ)∘{g(φ)}=f(φ)


hallo Leute,

ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zu Recht!

Meine Frage  wäre nun, ob ich hier einfach jeweils ein Polynome für g und h einsetze , und das dann ganz einfach durch multiplikation ausrechne??

Danke

Aleksa

        
Bezug
Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Fr 16.05.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> Es sei f=g⋅h∈k[t] ein Polynom und V→V∈{End(V)}.
> Beweisen Sie ausführlich, dass:
>   g(φ)∘{h(φ)}=h(φ)∘{g(φ)}=f(φ)
>  
>
> hallo Leute,
>
> ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zu Recht!
>  
> Meine Frage  wäre nun, ob ich hier einfach jeweils ein Polynome für g und h einsetze , und das dann ganz einfach durch multiplikation ausrechne??

Yep, genau das heisst es.

Ein Polynom n.ten Grades ist ja definiert als [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}x^{i} [/mm] mit [mm] a_{n}\ne0 [/mm]
Und jetzt lege mal los mit [mm] g\circ{h}=... [/mm]

  

> Danke
>
> Aleksa

Bitte ;-)

Marius

Bezug
        
Bezug
Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Fr 16.05.2008
Autor: angela.h.b.


> Es sei f=g⋅h∈k[t] ein Polynom und V→V∈{End(V)}.
> Beweisen Sie ausführlich, dass:
>   g(φ)∘{h(φ)}=h(φ)∘{g(φ)}=f(φ)
>  
>
> hallo Leute,
>
> ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zu Recht!
>  
> Meine Frage  wäre nun, ob ich hier einfach jeweils ein Polynome für g und h einsetze

Hallo,

es kommt drauf an, was Du unter "einfach einsetze" verstehst...

Hast Du eigentlich die Aufgabe richtig verstanden?
Ich bin mir nicht sicher...

Ich nehme ja ganz stark an, daß oben

[mm] \varphi:V\to [/mm] V stehen soll.

[mm] \varphi [/mm] ist  eine lineare Abbildung.

Hast Du das berücksichtigt?

Wenn Du prüfen willst, ob [mm] g(φ)∘{h(φ)}=f(\varphi) [/mm] ist zu prüfen, ob für alle [mm] v\in [/mm] V gilt

[mm] (g(φ)∘{h(φ)})(v)=(f(\varphi))(v) [/mm]       (Gleichheit v. Funktionen.)

Für g(x) und h(x) kannst Du natürlich die Polynome so schreiben, wie Marius sagt (allerdings beginnt die Summation bei i=0).

> und das dann ganz einfach durch multiplikation ausrechne??

f=gh bekommst Du "ganz einfach" durch Multiplikation der beiden Polynome,

aber das [mm] \circ [/mm] ist ja keine Multiplikation, sondern eine Verkettung. Es werden ja in  g(φ)∘{h(φ)} zwei lineare Funktionen verkettet.

Gruß v. Angela

Bezug
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