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Forum "Uni-Sonstiges" - Polyeder mit ganzzahligen Ecke
Polyeder mit ganzzahligen Ecke < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Polyeder mit ganzzahligen Ecke: Hallo
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Mi 09.11.2011
Autor: looney_tune

Aufgabe
Eine Matrix A heißt total unimodular, wenn die Determinante jeder quadratischen Untermatrix von A einen Wert
aus [mm] \{1; 0; 1\} [/mm] hat. Sei b ein ganzzahliger Vektor und A eine total unimodulare Matrix.
Beweisen Sie: Der Polyeder
[mm] \{x| Ax = b; x \ge 0 \} [/mm] hat nur ganzzahlige Ecken, d.h. alle Komponenten der Ecken sind ganzzahlig

also die Ecken haben wir so definiert:
Das Polyeder X = {x : Ax [mm] \le [/mm]  b} sei durch A [mm] \in [/mm] R^(m×n), b [mm] \in R^m, [/mm] gegeben und
es sei z [mm] \in [/mm] X. Dann ist z genau dann Ecke, wenn es eine reguläre n × n-Untermatrix A^(J),
J [mm] \subseteq [/mm] {1, . . . ,m}, |J| = n, gibt mit A^(J)z = bJ .
Aber wie ich das mit ganzzahligen Ecken beweisen soll, habe ich nicht verstanden, kann mir jemand dabei helfen?

        
Bezug
Polyeder mit ganzzahligen Ecke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Mi 09.11.2011
Autor: Stoecki

Sei [mm] A^{-1}_{J} [/mm] die Inverse zu deiner nxn [mm] A^{J} [/mm] Untermatrix. Dann sind deine Ecken ist genau dann ganzzahlig, wenn für alle J aus der Indexmenge gilt, dass x = [mm] A^{-1}_{J}b_{J} [/mm] ganzzahlig ist. Es fällt also für die Untermatrix der Fall raus, dass die determinente von [mm] A^{J} [/mm] gleich 0 ist. Zum Beweis ein Tipp: Cramersche Regel

Wenn du nicht weiter kommst, meld dich noch mal.

Gruß Bernhard

Bezug
                
Bezug
Polyeder mit ganzzahligen Ecke: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:10 Mi 09.11.2011
Autor: looney_tune

ok, dass ist ganz lieb von dir. aber ich habe hiere keine richtigen Gleichungen, wie soll ich denn dann die cramersche regel anwenden, also worauf genau?


Bezug
                        
Bezug
Polyeder mit ganzzahligen Ecke: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Fr 11.11.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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