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Hallo!
Ich soll die Nullstellen von folgendem Nenner [mm] berechnen:z^{4}+1
[/mm]
Als Ergebnis hab ich angegeben:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}}(1+i) [/mm] und [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}}(-1+i)
[/mm]
Ist ja auch ganz logisch! Nur wie kommt man darauf??
Hat das irgendwas mit Einheitswurzeln zu tun?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Lösungen sind ja gerade die vierten Wurzeln von $-1$. Diese erhält man bekanntlich durch:
[mm] $z_k= e^{\frac{\pi i (1+2k)}{4}}$ [/mm] für $k=0,1,2,3$.
Naja, und wenn du das in kartesische Koordinaten umschreibst ($z=Re(z)+iIm(z)$), dann kommst du halt auf deine beiden Lösungen (und zwei Weitere).
Du hast nur die Nullstellen auf der oberen Halbebene angegeben...
Es hilft auch sich hier eine Skizze zu machen und sich so zu überlegen, wo die vierten Wurzeln von $-1$ wohl liegen müssen. (Von welchen Punkten des Einheitskreises kommt man durch vierfaches Drehen um den Polarwinkel auf $-1$?)
Viele Grüße
Julius
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