Polarkoordinatentransformation < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Do 01.05.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Transformieren sie gegeben Funktion in Polarkoordinaten. |
Hi!
Ich habe Probleme folgende Funktion in Polarkoordinaten zu transformieren:
[mm](x^2+y^2)^2-4*x^3+12*x*y^2=0[/mm]
also mit
[mm]r=\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
[mm]r^2=x^2+y^2[/mm]
[mm]x=\cos\phi*r[/mm] und
[mm]y=\sin\phi*r[/mm]
komme ich auf
[mm]r^4-4*(\cos\phi*r)^3+12*\cos\phi*r*(\sin\phi*r)^2=0[/mm]
aber von da komme ich irgendwie nicht weiter.
Als Ergebnis soll wohl
[mm]r=4*\cos(3*\phi)[/mm] rauskommen.
Wie rechne ich jetzt weiter oder was muss ich anders machen?
Danke schonmal im vorraus und beste Grüße,
tedd ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Verwende hier [mm] $\sin^2(\phi) [/mm] \ = \ [mm] 1-\cos^2(\phi)$ [/mm] sowie das Additionstheorem [mm] $\cos(3*\phi) [/mm] \ = \ [mm] 4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Do 01.05.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Loddar, danke für die Antwort.
Die beiden Sachen helfen mir weiter. Der trigonometrische Pythagoras ist mir klar aber wie ich mit den Additionstheoremen auf [mm]\cos(3*\phi) = 4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)[/mm] ist mir nicht ganz klar. Wäre sehr dankbar wenn man mir das nochmal erklären könnte :)
Danke und Gruß,
tedd
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo tedd,
verwende 2mal die Additionstheoreme für $\sin$ und $\cos$ und die Beziehung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$
$\cos(3\phi)=\cos(2\phi+\phi)=\red{\cos(2\phi)}\cos(\phi)-\blue{\sin(2\phi)}\sin(\phi) \qquad $ Additionstheorem für $\cos$
$=\red{[\cos(\phi)\cos(\phi)-\sin(\phi)\sin(\phi)]}\cos(\phi)-\blue{\left[\\sin(\phi)\cos(\phi)+\sin(\phi)\cos(\phi)]}\sin(\phi) \qquad$ Additionstheorem für $\cos$ und $\sin$
$=[\cos^2(\phi)-\green{\sin^2(\phi)}]\cos(\phi)-2\cos(\phi)\green{\sin^2(\phi)}$
$=[\cos^2(\phi)-\green{(1-\cos^2(\phi))}]\cos(\phi)-2\cos(\phi)\green{(1-\cos^2(\phi))}$
Das fasse nun mal alles nett zusammen....
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 03.05.2008 | | Autor: | tedd |
Danke!
Jetzt kann ichs nachvollziehen :)
Habs so zusammengefasst:
[mm]cos(3\phi)[/mm]
[mm]=[\cos^2(\phi)-(1-\cos(\phi))]*\cos(\phi)-2*\cos(\phi)
(1-\cos^2(\phi))[/mm]
[mm]=(2*\cos^2(\phi)-1)*\cos(\phi)-2*\cos(\phi)+2*\cos^3(\phi)[/mm]
[mm]=2*\cos^3(\phi)-\cos(\phi)-2*\cos(\phi)+2*\cos^3(\phi)[/mm]
[mm]=4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)[/mm]
Hab die gesamte Aufgabe dann so gelöst:
[mm] (x^2+y^2)^2-4*x^3+12*xy^2=0
[/mm]
[mm] r^4-4*\cos^3(\phi)*r^3+12*\cos(\phi)*r*sin^2(\phi)*r^2=0
[/mm]
[mm] r^3*(r-4*\cos^3(\phi)+12*\cos(\phi)*\sin^2(\phi))=0
[/mm]
[mm] r^3*(r-4*\cos^3(\phi)+12*\cos(\phi)*(1-\cos^2(\phi))=0
[/mm]
[mm] r^3*(r-4*\cos^3(\phi)+12*\cos(\phi)-12*\cos^3(\phi))=0
[/mm]
[mm] -r^3*(-r+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi))=0
[/mm]
[mm] -r^3*(-r+4*\cos(3\phi))=0
[/mm]
[mm] r^4-4*\cos(3\phi)*r^3=0
[/mm]
[mm] r^4=4*\cos(3\phi)*r^3
[/mm]
[mm] r=4*\cos(3\phi)
[/mm]
Ich nehm an es wird so rihtig sein. Danke für eure Hilfe ihr 2.
Beste Grüße,
tedd
Ahh verzeihung ich habe den Artikel versehentlich als weitere Frage gepostet
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Hallo tedd,
> Danke!
> Jetzt kann ichs nachvollziehen :)
> Habs so zusammengefasst:
> [mm]cos(3\phi)[/mm]
> [mm]=[\cos^2(\phi)-(1-\cos(\phi))]*\cos(\phi)-2*\cos(\phi)
(1-\cos^2(\phi))[/mm]
>
> [mm]=(2*\cos^2(\phi)-1)*\cos(\phi)-2*\cos(\phi)+2*\cos^3(\phi)[/mm]
> [mm]=2*\cos^3(\phi)-\cos(\phi)-2*\cos(\phi)+2*\cos^3(\phi)[/mm]
> [mm]=4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)[/mm]
>
> Hab die gesamte Aufgabe dann so gelöst:
>
> [mm](x^2+y^2)^2-4*x^3+12*xy^2=0[/mm]
> [mm]r^4-4*\cos^3(\phi)*r^3+12*\cos(\phi)*r*sin^2(\phi)*r^2=0[/mm]
> [mm]r^3*(r-4*\cos^3(\phi)+12*\cos(\phi)*\sin^2(\phi))=0[/mm]
> [mm]r^3*(r-4*\cos^3(\phi)+12*\cos(\phi)*(1-\cos^2(\phi))=0[/mm]
> [mm]r^3*(r-4*\cos^3(\phi)+12*\cos(\phi)-12*\cos^3(\phi))=0[/mm]
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> [mm]-r^3*(-r+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi)+4*\cos^3(\phi)-3*\cos(\phi))=0[/mm]
> [mm]-r^3*(-r+4*\cos(3\phi))=0[/mm]
> [mm]r^4-4*\cos(3\phi)*r^3=0[/mm]
> [mm]r^4=4*\cos(3\phi)*r^3[/mm]
> [mm]r=4*\cos(3\phi)[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ich nehm an es wird so rihtig sein. Danke für eure Hilfe
> ihr 2.
> Beste Grüße,
> tedd
>
> Ahh verzeihung ich habe den Artikel versehentlich als
> weitere Frage gepostet
Gruß
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