Polarkoordinatendarstellung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 01.03.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | a) Es sei z [mm] \in \IC [/mm] , |z| =1 . Beweisen Sie, dass es ein t [mm] \in \IR [/mm] so gibt, dass gilt z= e^(it)
b) Es seien s, t [mm] \in \IC [/mm] . Beweisen Sie, dass gilt: e^(is) = e^(it) [mm] \gdw [/mm] s-t [mm] \in [/mm] 2 [mm] \pi \IZ
[/mm]
c) Es sei z [mm] \in \IC [/mm] \ {0}. Beweisen Sie, dass es ein r [mm] \in \IR [/mm] , r>0 und ein t [mm] \in \IR [/mm] so gibt, dass gilt z= re^(it)
d) Es seien, r, r', s, t [mm] \in \IR [/mm] und r, r'>0. Beweisen Sie, dass gilt:
re^(is) = r'e^(it) [mm] \gdw [/mm] r=r' , s-t [mm] \in [/mm] 2 [mm] \pi \IZ [/mm] |
Hallo,
weiß nicht so ganz, wie ich die vier Bestandteile der Polarkoordinatendarstellung beweisen kann.
Hat b) etwas mit der konjugiert-komplexen Zahl zu tun?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 So 01.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Es sei z [mm]\in \IC[/mm] , |z| =1 . Beweisen Sie, dass es ein t
> [mm]\in \IR[/mm] so gibt, dass gilt z= e^(it)
> b) Es seien s, t [mm]\in \IC[/mm] . Beweisen Sie, dass gilt: e^(is)
> = e^(it) [mm]\gdw[/mm] s-t [mm]\in[/mm] 2 [mm]\pi \IZ[/mm]
> c) Es sei z [mm]\in \IC[/mm] \ {0}.
> Beweisen Sie, dass es ein r [mm]\in \IR[/mm] , r>0 und ein t [mm]\in \IR[/mm]
> so gibt, dass gilt z= re^(it)
> d) Es seien, r, r', s, t [mm]\in \IR[/mm] und r, r'>0. Beweisen
> Sie, dass gilt:
> re^(is) = r'e^(it) [mm]\gdw[/mm] r=r' , s-t [mm]\in[/mm] 2 [mm]\pi \IZ[/mm]
> Hallo,
>
> weiß nicht so ganz, wie ich die vier Bestandteile der
> Polarkoordinatendarstellung beweisen kann.
> Hat b) etwas mit der konjugiert-komplexen Zahl zu tun?
wie habt ihr die komplexe Exponentialfunktion $z [mm] \mapsto \exp(z)$ [/mm] eingeführt? Welche Sätze kennt ihr diesbezüglich, das heißt, welche Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion sind Dir/Euch schon bekannt? Das ist hier nicht ganz unwesentlich...
(Vll. vergleichst Du das ganze auch mal mit Kapitel 7 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript zur Analysis.)
Bei Aufgabe d):
Hier ist [mm] '$\Leftarrow$' [/mm] sehr einfach bis trivial, verwende dazu Satz 7.2. (+ evtl. [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] der Funktion [mm] $\IR \to \IC,\; [/mm] x [mm] \mapsto \exp(ix)$).
[/mm]
Zu [mm] '$\Rightarrow$':
[/mm]
Aus [mm] $r*\exp(is)=r'\exp(it)$ [/mm] folgt wegen Satz 7.11 des obigen Skriptes durch Betragbildung auf beiden Seiten schon [mm] $|r|=|r'|\,,$ [/mm] und weil $|r|=r$ (wegen $r > 0$) und $|r'|=r'$ (wegen $r' > 0$) gilt damit schon $r=r'$.
Somit liefert [mm] $r*\exp(is)=r'\exp(it)$ [/mm] wegen $r=r' > 0$ dann [mm] $\exp(is)=\exp(it)\,,$ [/mm] so dass Du nun mit Aufgabe b) dann d) erhältst.
Zu b): (Bemerkung: Damit Du erkennst, dass dieser Aufgabenteil bei d) benutzt werden kann, beachte, dass die dortige Aussage für alle $s,t [mm] \in \IC$ [/mm] gelten soll, also insbesondere gilt sie auch für $s,t [mm] \in \IR$!)
[/mm]
Die Richtung [mm] '$\Leftarrow$' [/mm] ist trivial (analog zu Teil d)).
Zu [mm] '$\Rightarrow$':
[/mm]
Mit Satz 7.2 folgt aus [mm] $\exp(is)=\exp(it)$ [/mm] sicher [mm] $\exp(is)*\exp(-it)=\exp(it)*\exp(-it)\underset{\text{Satz }7.2}{=}\exp(0)=1\,$ [/mm] und zudem [mm] $\exp(is)*\exp(-it)\underset{\text{Satz }7.2}{=}\exp(is+(-it))=\exp(i(s-t))\,,$ [/mm] also insgesamt
[mm] $$(\star)\;\;\exp(i\underbrace{(s-t)}_{\in \IC})=1\,.$$
[/mm]
Und jetzt überlege mal (wieder mit Satz 7.2), dass für $z=x+iy$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $$\exp(iz)=\exp(ix)*\exp(-y)\,.$$
[/mm]
Aus [mm] $|\exp(iz)|=1$ [/mm] folgt dann wegen [mm] $|\exp(ix)|=1$ [/mm] (Satz 7.11) dann [mm] $|\exp(-y)|=\exp(-y)=1$ [/mm] ($y [mm] \in \IR$), [/mm] also $y=0$.
D.h. aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt
[mm] $$\text{Im}(s-t)=0\,.$$
[/mm]
Damit folgt aus [mm] $(\star)$ [/mm]
[mm] $$\exp(i*(\text{Re}(s-t)))=1\,.$$
[/mm]
Mit dem trigonometrischen Pythagoras und Kenntnisse der Sinusfunktion [mm] $\IR \to \IR,\;x \mapsto \sin(x)$ [/mm] erhälst Du somit [mm] $\text{Re}(s-t) \in 2\pi \IZ\,.$
[/mm]
Zu guter letzt beachte nochmal (die auch schon oben benutzte Gleichheit)
[mm] $$s-t=\text{Re}(s-t)+i*\text{Im}(s-t)\,,$$
[/mm]
woraus die Behauptung folgt.
P.S.:
Aufgabe c) folgt aus Aufgabe a). Dazu wende für $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] Aufgabenteil a) auf [mm] $\tilde{z}:=z/|z|$ [/mm] an (beachte: [mm] $|\tilde{z}|=|z/|z||=|z|/|\;|z|\;|=|z|/|z|=1$). [/mm] Hier kannst Du dann $r:=|z|$ setzen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 01.03.2009 | | Autor: | ronja33 |
> >
> Hallo,
> >
> > weiß nicht so ganz, wie ich die vier Bestandteile der
> > Polarkoordinatendarstellung beweisen kann.
> > Hat b) etwas mit der konjugiert-komplexen Zahl zu tun?
>
> wie habt ihr die komplexe Exponentialfunktion [mm]z \mapsto \exp(z)[/mm]
> eingeführt? Welche Sätze kennt ihr diesbezüglich, das
> heißt, welche Eigenschaften der komplexen
> Exponentialfunktion sind Dir/Euch schon bekannt? Das ist
> hier nicht ganz unwesentlich...
>
> (Vll. vergleichst Du das ganze auch mal mit Kapitel 7 aus
> diesem Skript zur Analysis.)
Vielen Dank für den Link mit dem Skript. Satz 72. und 7.11 sind mir bekannt.
Kann Aufgabenteil b) nachvollziehen, allerdings wäre ich da selbst nicht drauf gekommen:(
>
bei a) gibts ja gar nichts groß ui beweisen oder?
bei c): ist doch so ähnlich wie a) oder? Wie kann ich das t noch mit einbeziehen?
Vielen Dank im Voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 01.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > >
> > Hallo,
> > >
> > > weiß nicht so ganz, wie ich die vier Bestandteile der
> > > Polarkoordinatendarstellung beweisen kann.
> > > Hat b) etwas mit der konjugiert-komplexen Zahl zu
> tun?
> >
> > wie habt ihr die komplexe Exponentialfunktion [mm]z \mapsto \exp(z)[/mm]
> > eingeführt? Welche Sätze kennt ihr diesbezüglich, das
> > heißt, welche Eigenschaften der komplexen
> > Exponentialfunktion sind Dir/Euch schon bekannt? Das ist
> > hier nicht ganz unwesentlich...
> >
> > (Vll. vergleichst Du das ganze auch mal mit Kapitel 7 aus
> >
> diesem Skript zur Analysis.)
>
> Vielen Dank für den Link mit dem Skript. Satz 72. und 7.11
> sind mir bekannt.
>
> Kann Aufgabenteil b) nachvollziehen, allerdings wäre ich da
> selbst nicht drauf gekommen:(
> >
> bei a) gibts ja gar nichts groß ui beweisen oder?
doch, man kann sich aber helfen. Z.B. wenn man weiß, dass [mm] $\exp(ix)=\cos(x)+i*\sin(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] gilt, dann hat man eigentlich auch eine geometrische Vorstellung, was die Funktion [mm] $\IR \to \IC,\;t \mapsto \exp(it)$ [/mm] in der komplexen Zahlenebene macht.
Jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] steht nun in eineindeutiger Beziehung zu einem Paar $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $z=x+i*y$, z.B. durch [mm] $x=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $y=\text{Im}(z)\,.$ [/mm] Ist $|z|=1$ mit $z=x+iy$, wobei $x,y$ reell, so sucht man ein [mm] $t=t_z$ [/mm] mit [mm] $\cos(t_z)=x$ [/mm] und [mm] $\sin(t_z)=y\,.$ [/mm] Solch eines findet man sogar in eindeutiger Weise, wenn man [mm] $t=t_z$ [/mm] nur in einem halboffenen Intervall der Länge [mm] $2\,\pi$ [/mm] zuläßt, also z.B. $t [mm] \in [0,2\,\pi)$ [/mm] fordert. Hier könnte man sich jedenfalls mit der Sinus- und der Kosinusfunktion behelfen. Aber wichtiger finde ich eigentlich, dass man sich klar macht, was $t [mm] \mapsto e^{it}$ [/mm] bewirkt.
Male dazu einen Einheitskreis in die komplexe Zahlenebene, und nimm' $t [mm] \in [0,2\pi)$ [/mm] an und betrachte das Bogenstück der Länge $t$, ausgehend vom Punkt $1=1+0*i [mm] \in \IC$ [/mm] auf dem Einheitskreis. Dann gelangst Du zu einem neuen Punkt auf dem Einheitskreis.
Bei Deiner Aufgabe ist es umgekehrt:
Du hast einen Punkt auf dem Einheitskreis gegeben, jetzt müßtest Du quasi die Bogenlänge des Bogenstücks vom Punkt $1=1+0*i$ zu dem gegebenen Punkt kennen (mithilfe von Sinus- und oder Kosinusbeziehungen 'kennt' man es auch!), dieses Stück heißt dann [mm] $t\,,$ [/mm] und Dir dann überlegen, dass [mm] $e^{it}$ [/mm] gerade der Punkt auf dem Einheitskreis ist. Prinzipiell sind die Überlegungen auch mit der Schulgeometrie durchführbar, man muss nur wissen, was die Funktion [mm] $\IR \to \IC,\;t \mapsto \exp(it)$ [/mm] bewirkt.
> bei c): ist doch so ähnlich wie a) oder? Wie kann ich das
> t noch mit einbeziehen?
Na, nach a) existiert zu [mm] $\tilde{z}=z/|z|$ [/mm] ($z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$) [/mm] ein $t [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\tilde{z}=\exp(it)\,,$ [/mm] und ferner ist [mm] $z=|z|*\tilde{z}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
