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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 So 08.06.2008 | | Autor: | bugo |
Hallo zusammen ich hab momentan 3 große fragezeichen überm Kopf, wann ich mich mit dem Satz von moivre
z= /z/*(cos(phi)+i sin(phi) zur Polarkoordinatendarstellung nehme und wann ich mit z= [mm] \wurzel[n]{r} [/mm] * ( [mm] cos(\bruch{\pi}{n}) [/mm] + [mm] k*sin(\bruch{2\pi}{n}) [/mm] + i * [mm] sin(\bruch{\pi}{n}) [/mm] + [mm] k*sin(\bruch{2\pi}{n}) [/mm] ) handtiere???
Kann ich nicht mit der ersten Gleichung alle der folgenden aufgaben lösen?
vielleicht kann mir jemand einen tipp geben welche formel ich bei diesen gleichungen nehmen muss und warum.
[mm] \wurzel[3]{1}
[/mm]
[mm] \wurzel{9i}
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{-1}
[/mm]
[mm] (2+2i)^{4}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bugo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo zusammen ich hab momentan 3 große fragezeichen überm
> Kopf, wann ich mich mit dem Satz von moivre
> z= /z/*(cos(phi)+i sin(phi) zur Polarkoordinatendarstellung
> nehme und wann ich mit z= [mm]\wurzel[n]{r}[/mm] * (
> [mm]cos(\bruch{\pi}{n})[/mm] + [mm]k*sin(\bruch{2\pi}{n})[/mm] + i *
> [mm]sin(\bruch{\pi}{n})[/mm] + [mm]k*sin(\bruch{2\pi}{n})[/mm] )
> handtiere???
Die Formel muß doch so lauten:
[mm]z_{k}=\wurzel[n]{\vmat{z}}*\left(\ \cos\left(\bruch{\varphi+2*k*\pi}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+2*k*\pi}{n}\right) \ \right) \ 0 \le k < n \ \left(1\right)[/mm]
Eine ähnliche Formel gibt es für die Potenzen von z:
[mm]z^{n}={\vmat{z}}^{n}*\left(\ \cos\left(n*\varphi\right)+i*\sin\left(n*\varphi\right) \ \right) \ \left(2\right)[/mm]
>
> Kann ich nicht mit der ersten Gleichung alle der folgenden
> aufgaben lösen?
Nein.
Mit der Gleichung
[mm]z=\vmat{z}*\left(\ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right)[/mm]
überführst Du z in die Polarkoordinatendarstellung.
Eine weitere Darstellung ist die Exponentialdarstellung:
[mm]z=\vmat{z}*\left(\ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right)=\vmat{z}*e^{i*\varphi}[/mm]
> vielleicht kann mir jemand einen tipp geben welche formel
> ich bei diesen gleichungen nehmen muss und warum.
>
> [mm]\wurzel[3]{1}[/mm]
> [mm]\wurzel{9i}[/mm]
> [mm]\wurzel[6]{-1}[/mm]
> [mm](2+2i)^{4}[/mm]
>
Die ersten 3 Aufgaben löst Du mit der Formel [mm]\left(1\right)[/mm], weil hier die Lösungen der Gleichung [mm]z^{n}=\tilde{z}[/mm] gesucht sind.
Die letzte Aufgabe löst Du mit der Formel [mm]\left(2\right)[/mm], da die n-te Potenz einer komplexen Zahl gesucht ist.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 08.06.2008 | | Autor: | bugo |
Hey vielen Lieben Dank!
Eins noch :)
ich hab hier eine Beispielaufgabe aus der vorlesung:
[mm] \wurzel[4]{1} [/mm] = ?
der rest lautete wie folgt:
[mm] \wurzel[4]{1}=1 [/mm]
--> z= [mm] 1*(cos(\bruch{180}{4} [/mm] + k* [mm] \bruch{360}{4}) [/mm] + i [mm] *sin(\bruch{180}{4} [/mm] + k * [mm] \bruch{360}{4}))
[/mm]
ich habs jetz mal mit deiner formel (1)versucht und komme nicht auf die lösung
vielleicht noch die frage wie ich auf phi komme wenn ich allgemein nur einen wert unter der wurzel hab (tan phi = b/a) bei "1" unter der wurzel kann ich mir die 180° und 360° nur im bezug auf den einheitskreis mit r=1 erklären.
liebe grüße, georg
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Hallo bugo,
> Hey vielen Lieben Dank!
> Eins noch :)
> ich hab hier eine Beispielaufgabe aus der vorlesung:
>
> [mm]\wurzel[4]{1}[/mm] = ?
> der rest lautete wie folgt:
>
> [mm]\wurzel[4]{1}=1[/mm]
>
> --> z= [mm]1*(cos(\bruch{180}{4}[/mm] + k* [mm]\bruch{360}{4})[/mm] + i
> [mm]*sin(\bruch{180}{4}[/mm] + k * [mm]\bruch{360}{4}))[/mm]
Der Winkel von [mm]180^{\circ}[/mm] stimmt nicht.
>
> ich habs jetz mal mit deiner formel (1)versucht und komme
> nicht auf die lösung
Deshalb kann auch die Lösung nicht stimmen.
>
> vielleicht noch die frage wie ich auf phi komme wenn ich
> allgemein nur einen wert unter der wurzel hab (tan phi =
> b/a) bei "1" unter der wurzel kann ich mir die 180° und
> 360° nur im bezug auf den einheitskreis mit r=1 erklären.
Zu dem Argument:
Es ist [mm]z=1+i*0=\cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Vergleich des Real- und Imaginärteils liefert:
[mm]\cos\left(\varphi\right)=1[/mm]
[mm]\sin\left(\varphi\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \varphi=0[/mm]
Ich geb den Winkel [mm]\varphi[/mm] hier im Bogenmaß an, weil das so üblich ist.
Hieraus folgt wiederum
[mm]z_{k}=\cos\left(\bruch{2*k*\pi}{4}\right)+i*\sin\left(\bruch{2*k*\pi}{4}\right)=\cos\left(\bruch{k*\pi}{2}\right)+i*\sin\left(\bruch{k*\pi}{2}\right), 0 \le k < 4[/mm]
[mm]\Rightarrow z_{0}=1, \ z_{1}=i, \ z_{2}=-1, \ z_{3}=-i[/mm]
Dies sind alle 4 Lösungen von [mm]z^{4}=1[/mm]
>
> liebe grüße, georg
Gruß
MathePower
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