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Polarkoordinaten: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 02.07.2005
Autor: Gero

Hallo nochmal,
da man ja immer nur eine Aufgabe pro Beitrag schreiben soll, kommt mein hier mein zweites Problem:"Berechnen Sie mit Polarkoordinaten
[mm] \integral_{\IR^2}^{} {e^{-|x|^{2}} dx}= \pi [/mm]
und zeigen Sie mit dem Satz von Fubini
[mm] \integral_{\IR^2}^{} {e^{-t^{2}} dt}= \wurzel{\pi}" [/mm]
Hat mir jemand ne Idee?

Danke schonmal im voraus!

Gero

        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Sa 02.07.2005
Autor: Paulus

Hallo

ich versuche mal eine Teillösung, zur ersten Teilaufgabe. Vielleicht kann ja jemand mit genügend Rechten die Aufgabe als "teilweise beantwortet" markieren.

>  Berechnen Sie mit Polarkoordinaten
>   [mm]\integral_{\IR^2}^{} {e^{-|x|^{2}} dx}= \pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Du weisst ja, dass die Funktion beim Übergang zu Polarkoordinaten mit $r_$ multipliziert werden muss. Dies ergibt für dein Integral diese einfache Rechnung:

$\integral_0^{\infty} \integral_0^{2\pi} r*{e^{-r^{2}}\, d\varphi\, dr=$
$2\pi*\integral_0^{\infty} r*{e^{-r^{2}}\, dr=\pi$

Eine Stammfunktion von $r*{e^{-r^{2}}}$ ist ja $-\bruch{1}{2}e^{-r^2}$

Viele Grüsse

Paul

Bezug
        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 So 03.07.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Paul hat die Aufgabe ja schon gelöst. :-) Der zweite Teil folgt ja jetzt sofort aus dem Satz von Fubini, nach dem gilt:

[mm] $\left(\int\limits_{\IR} e^{-t^2}\, dt\right)^2 [/mm] = [mm] \int\limits_{\IR} e^{-t_1^2}\, dt_1 \cdot \int\limits_{\IR} e^{-t_2^2}\, dt_2 [/mm] = [mm] \int\limits_{\IR} \int\limits_{\IR} e^{-t_1^2 -t_2^2}\, dt_1dt_2 \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} \int\limits_{\IR^2} e^{-\Vert x\Vert^2} \, [/mm] dx = [mm] \pi$, [/mm]

woraus die Behauptung durch Wurzelziehen folgt.

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Polarkoordinaten: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:14 So 03.07.2005
Autor: Gero

Danke für eure Antworten!

Gruß   Gero

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