Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Es ist das Volumen des Körper zu bestimmen, den der elliptische Zylinder [mm] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq \frac{1}{2} [/mm] aus dem Ellipsoid [mm] \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq [/mm] 1 ausschneidet (a,b,c>0). Hinweis benutzen Sie verallgemeinerte Polarkoordinaten. |
Hallo, ich brauche Eure Hilfe!
Könnt ihr mir sagen, wie ich diese Aufgabe lösen könnte? Ist der Transformationssatz hier hilfreich?
Dann könnte ich
[mm] \integral_{u}^{}{(f(T(x))|det T'(x)|) dx} [/mm] = [mm] \integral_{v}^{}{f(y) dy}
[/mm]
eine geeignete Transformation für T nehmen, in dem Fall die Polarkoordinaten.
[mm] T(r,\theta,\phi) =\pmat{r sin\theta cos\phi \\ r sin \theta sin\phi \\ r cos \theta}
[/mm]
Damit Wäre doch hier [mm] \theta \in [0,\pi], \phi \in [-\pi,\pi] [/mm] , [mm] r\in[o,R]
[/mm]
[mm] T'(r,\theta,\phi) [/mm] = [mm] \pmat{sin\theta * cos\theta & r cos\theta cos\phi & -rcos\theta sin\phi \\ sin\theta & r cos\theta sin\phi & r sin\theta cos\phi \\ cos\theta & - r sin \theta & 0}
[/mm]
Ist mein Ansatz bisher so richtig?
Bitte dringend um Hilfe! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mi 27.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Was du genommen hast sind Kugelkoordinaten Benutze verallgemeinerte Polar- bzw. Zylinderkoordinaten, also [mm] $$T(r,\varphi,z)=\pmat{a*r\cos\varphi\\b*r\sin\varphi\\c*z}\qquad$mit $(r,\varphi,z)\in(0,\infty)\times(0,2\pi)\times\IR=:U$$ [/mm] Was du ausrechnen sollst ist das Lebesgue Maß der Menge [mm] $$M:=\left\{(x,y,z)\in\IR^3\mid\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1\right\}\cap\left\{(x,y,z)\in\IR^3\mid\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le \frac{1}{2}\right\}$$ [/mm] Und T ist genau so gewählt dass [mm] $$M\approx T(\{(r,\varphi,z)\in U\mid r^2+z^2\le 1\})\cap T((0,1/\sqrt{2})\times(0,2\pi)\times\IR)\stackrel{\text{T injektiv}}{=}T\left(\{(r,\varphi,z)\in U\mid r^2+z^2\le 1\}\cap (0,1/\sqrt{2})\times(0,2\pi)\times\IR\right)=:T(\Omega)$$ [/mm] wobei ich mit dem [mm] $\approx$ [/mm] am Anfang meine, dass die Gleichheit bis auf eine Menge vom Maß 0 gilt. Damit kannst du nun das Maß von M mithilfe des Transformationssatzes berechnen durch [mm] $$\lambda^3(M)=\int_M [/mm] 1\ [mm] dx=\int_\Omega|\det [/mm] DT(x)|\ dx$$ Alles was du noch tun musst ist [mm] $\Omega$ [/mm] auszurechnen und das rechte Integral.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also muss ich jetzt für [mm] \Omega [/mm] folgendes machen?
[mm] r^2 [/mm] + [mm] z^2 \leq [/mm] 1
1. Wie kommst du hierauf?
2. Wie kommst du auf (0, [mm] 1/\sqrt{2})
[/mm]
3. z = [mm] \pm\sqrt{1 - r^2}
[/mm]
Ich hänge fest....
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
>
> also muss ich jetzt für [mm]\Omega[/mm] folgendes machen?
>
> [mm]r^2[/mm] + [mm]z^2 \leq[/mm] 1
>
> 1. Wie kommst du hierauf?
Zugrunde liegt hier die Gleichung des Ellipsoids:
[mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}+\bruch{z^{2}}{c^{2}} \leq 1[/mm]
Setzt Du hier die Parametrisierung
[mm]x=a*r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y=b*r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]z=c*z[/mm]
ein, so folgt daraus die Gleichung [mm]r^{2}+z^{2} \leq 1[/mm]
> 2. Wie kommst du auf (0, [mm]1/\sqrt{2})[/mm]
Erstmal ist klar, daß [mm]r ge 0[/mm] gelten muß.
Die Grenze für r folgt aus der Gleichung
[mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}} \leq \bruch{1}{2}[/mm]
Hier setzt Du auch die Parametrisierung ein.
>
> 3. z = [mm]\pm\sqrt{1 - r^2}[/mm]
Das sind die Grenzen für z.
Löse hier die GLeichung [mm]r^{2}+z^{2}=1[/mm] nach z auf.
>
> Ich hänge fest....
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 28.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > Hallo,
> >
> > also muss ich jetzt für [mm]\Omega[/mm] folgendes machen?
> >
> > [mm]r^2[/mm] + [mm]z^2 \leq[/mm] 1
> >
> > 1. Wie kommst du hierauf?
>
>
> Zugrunde liegt hier die Gleichung des Ellipsoids:
>
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}+\bruch{z^{2}}{c^{2}} \leq 1[/mm]
>
> Setzt Du hier die Parametrisierung
>
> [mm]x=a*r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
>
> [mm]y=b*r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
>
> [mm]z=c*z[/mm]
>
> ein, so folgt daraus die Gleichung [mm]r^{2}+z^{2} \leq 1[/mm]
>
>
> > 2. Wie kommst du auf (0, [mm]1/\sqrt{2})[/mm]
>
>
> Erstmal ist klar, daß [mm]r ge 0[/mm] gelten muß.
>
> Die Grenze für r folgt aus der Gleichung
>
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}} \leq \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hier setzt Du auch die Parametrisierung ein.
>
>
> >
> > 3. z = [mm]\pm\sqrt{1 - r^2}[/mm]
>
>
> Das sind die Grenzen für z.
>
> Löse hier die GLeichung [mm]r^{2}+z^{2}=1[/mm] nach z auf.
>
>
> >
> > Ich hänge fest....
> >
> > Grüße
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
dann muss doch bei den Polarkoordinaten (im Fall von y=....) anstatt dem cosinus ein sinus stehen, sonst gibts ja keinen Sinn, oder?
Meine Grenzen von z sind:
[mm] z=\pm \sqrt{1-r^2}
[/mm]
Grenzen von r :
r = [mm] \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
Brauche ich denn noch die Grenzen von x und y?
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > also muss ich jetzt für [mm]\Omega[/mm] folgendes machen?
> > >
> > > [mm]r^2[/mm] + [mm]z^2 \leq[/mm] 1
> > >
> > > 1. Wie kommst du hierauf?
> >
> >
> > Zugrunde liegt hier die Gleichung des Ellipsoids:
> >
> >
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}+\bruch{z^{2}}{c^{2}} \leq 1[/mm]
>
> >
> > Setzt Du hier die Parametrisierung
> >
> > [mm]x=a*r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
> >
> > [mm]y=b*r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
> >
> > [mm]z=c*z[/mm]
> >
> > ein, so folgt daraus die Gleichung [mm]r^{2}+z^{2} \leq 1[/mm]
> >
> >
> > > 2. Wie kommst du auf (0, [mm]1/\sqrt{2})[/mm]
> >
> >
> > Erstmal ist klar, daß [mm]r ge 0[/mm] gelten muß.
> >
> > Die Grenze für r folgt aus der Gleichung
> >
> > [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}} \leq \bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > Hier setzt Du auch die Parametrisierung ein.
> >
> >
> > >
> > > 3. z = [mm]\pm\sqrt{1 - r^2}[/mm]
> >
> >
> > Das sind die Grenzen für z.
> >
> > Löse hier die GLeichung [mm]r^{2}+z^{2}=1[/mm] nach z auf.
> >
> >
> > >
> > > Ich hänge fest....
> > >
> > > Grüße
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Hallo,
>
> dann muss doch bei den Polarkoordinaten (im Fall von
> y=....) anstatt dem cosinus ein sinus stehen, sonst gibts
> ja keinen Sinn, oder?
Ja, das hast Du recht.
Das kommt davon, wenn man mit Copy & Paste arbeitet.
>
> Meine Grenzen von z sind:
>
> [mm]z=\pm \sqrt{1-r^2}[/mm]
>
> Grenzen von r :
>
> r = [mm]\pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/mm]
>
> Brauche ich denn noch die Grenzen von x und y?
>
Nein, denn Du dast ja die Grenzen von [mm]\varphi[/mm].
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Do 28.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also ich berechne nun die Determinante von T:
[mm] T:=\pmat{a*r*cos\phi \\ b*r*sin\phi} [/mm]
T':= [mm] \pmat{a*cos\phi & -a*r*sin\phi \\ b*sin\phi & b*r*cos\phi} [/mm] = [mm] a*b*r(cos^2\phi [/mm] + [mm] sin^2\phi) [/mm] = a*b*r , da [mm] (cos^2\phi [/mm] + [mm] sin^2\phi) [/mm] =1
Also löse ich das Integral:
[mm] \integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{ (\integral_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}{a*b*r dr})dz
[/mm]
Und wie sehen denn meine Grenzen für [mm] \phi [/mm] aus?
Wie kann ich mir denn die berechnen?
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
>
> also ich berechne nun die Determinante von T:
>
> [mm]T:=\pmat{a*r*cos\phi \\ b*r*sin\phi}[/mm]
T hat doch noch eine Koordinate:
[mm]T\left(r,\phi,\red{z}\right):=\pmat{a*r*cos\phi \\ b*r*sin\phi \\ \red{c*z}}[/mm]
> T':= [mm]\pmat{a*cos\phi & -a*r*sin\phi \\ b*sin\phi & b*r*cos\phi}[/mm]
> = [mm]a*b*r(cos^2\phi[/mm] + [mm]sin^2\phi)[/mm] = a*b*r , da [mm](cos^2\phi[/mm] +
> [mm]sin^2\phi)[/mm] =1
>
> Also löse ich das Integral:
>
> [mm]\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{ (\integral_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}{a*b*r dr})dz[/mm]
>
> Und wie sehen denn meine Grenzen für [mm]\phi[/mm] aus?
> Wie kann ich mir denn die berechnen?
Nun, die Grenzen für [mm]\phi[/mm] sind durch den einmaligen
Umlauf des Kreises bzw. der Ellipse gegeben.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 28.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ok, das hatte ich nicht beachtet... Aber das Ergebnis bleibt ja gleich.
Also sind die Grenzen für [mm] \phi [/mm] = [mm] [0,2\pi] [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{ (\integral_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}{a\cdot{}b\cdot{}r dr})dz)d\phi }
[/mm]
Ist dies so korrekt?
Ich eigentlich die Integrations Reihenfolge hier von Bedeutung oder ist dies egal?
Gruß
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
>
> ok, das hatte ich nicht beachtet... Aber das Ergebnis
> bleibt ja gleich.
Nein, die Determinante von T' ändert sich.
> Also sind die Grenzen für [mm]\phi[/mm] = [mm][0,2\pi][/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{ (\integral_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}{a\cdot{}b\cdot{}r dr})dz)d\phi }[/mm]
>
> Ist dies so korrekt?
r läuft doch hier von 0 bis [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm].
Außerdem stimmt der Integrand und die Integratonsreihenfolge nicht.
>
> Ich eigentlich die Integrations Reihenfolge hier von
> Bedeutung oder ist dies egal?
Die ist hier wichtig, denn z hängt von r ab.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 28.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > Hallo,
> >
> > ok, das hatte ich nicht beachtet... Aber das Ergebnis
> > bleibt ja gleich.
>
>
> Nein, die Determinante von T' ändert sich.
>
>
> > Also sind die Grenzen für [mm]\phi[/mm] = [mm][0,2\pi][/mm]
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{ (\integral_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}{a\cdot{}b\cdot{}r dr})dz)d\phi }[/mm]
>
> >
> > Ist dies so korrekt?
>
>
> r läuft doch hier von 0 bis [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm].
>
> Außerdem stimmt der Integrand und die
> Integratonsreihenfolge nicht.
>
>
> >
> > Ich eigentlich die Integrations Reihenfolge hier von
> > Bedeutung oder ist dies egal?
>
>
> Die ist hier wichtig, denn z hängt von r ab.
>
>
> >
> > Gruß
>
>
> Gruss
> MathePower
Hi,
Hier ist die Integrationsreihenfolge noch nicht berücksichtigt!!! Anstatt abr müsste eingentlich abcr rauskommen.
also: [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{ (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}{a\cdot{}b\cdot{}c*r dr})dz)d\phi }[/mm]
Also integriere ich zuerst nach [mm] \phi, [/mm] dann nach r und dann nach z?
Wie kann ich mir denn die integrationsreihenfolge am besten merken?
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hi,
>
> Hier ist die Integrationsreihenfolge noch nicht
> berücksichtigt!!! Anstatt abr müsste eingentlich abcr
> rauskommen.
Ja.
>
> also: [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{ (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}{a\cdot{}b\cdot{}c*r dr})dz)d\phi }[/mm]
>
> Also integriere ich zuerst nach [mm]\phi,[/mm] dann nach r und dann
> nach z?
Anders herum: Zuerst nach z, dann nach r und zuletzt nach [mm]\phi[/mm]
[mm]\integral_{0}^{2\pi} { \integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ \integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{a\cdot{}b\cdot{}c*r \ dz} \ dr \ d\phi }[/mm]
> Wie kann ich mir denn die integrationsreihenfolge am
> besten merken?
Über die Variable, die feste Grenzen aufweist, integrierst Du zuletzt.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{a\cdot{}b\cdot{}c\cdot{}r \ dz}) \ dr )\ d\phi } [/mm] = |abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{r \ dz}) \ dr) \ d\phi })
[/mm]
=|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({rz |_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi }) [/mm] =|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi }) [/mm]
Bis hierhin müsste es doch noch stimmen.
Jetzt hatten wir in der Vorlesung folgendes:
[mm] \integral_{}^{} \sqrt{r^2-x^2} [/mm] dx = [mm] \frac{r^2}{2} arcsin(\frac{x}{r})+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}
[/mm]
Kann ich das dann hier verwenden?
Ist dann hier das [mm] r^2 [/mm] gleich der 1 und [mm] x^2 [/mm] gleich dem [mm] r^2?
[/mm]
Danke!
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Hallo Bodo0686,
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{a\cdot{}b\cdot{}c\cdot{}r \ dz}) \ dr )\ d\phi }[/mm]
> = |abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{r \ dz}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
>
> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({rz |_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
>
> Bis hierhin müsste es doch noch stimmen.
>
> Jetzt hatten wir in der Vorlesung folgendes:
>
> [mm]\integral_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}[/mm] dx = [mm]\frac{r^2}{2} arcsin(\frac{x}{r})+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}[/mm]
>
> Kann ich das dann hier verwenden?
Nein.
Schau Dir den Integranden etwas genauer an:
[mm]2r\sqrt{1-r^2}[/mm]
Wähle hier [mm]u=1-r{2}[/mm]
Dann ist [mm]u'=-2r[/mm] bzw. [mm]du = \ -2r \ dr[/mm]
Mit dieser Erkenntnis kannst Du die Stammfunktion berechnen.
>
> Ist dann hier das [mm]r^2[/mm] gleich der 1 und [mm]x^2[/mm] gleich dem [mm]r^2?[/mm]
>
> Danke!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
>
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{a\cdot{}b\cdot{}c\cdot{}r \ dz}) \ dr )\ d\phi }[/mm]
> > = |abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{r \ dz}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({rz |_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
> > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
> >
> > Bis hierhin müsste es doch noch stimmen.
> >
> > Jetzt hatten wir in der Vorlesung folgendes:
> >
> > [mm]\integral_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}[/mm] dx = [mm]\frac{r^2}{2} arcsin(\frac{x}{r})+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}[/mm]
>
> >
> > Kann ich das dann hier verwenden?
>
>
> Nein.
>
> Schau Dir den Integranden etwas genauer an:
>
> [mm]2r\sqrt{1-r^2}[/mm]
>
> Wähle hier [mm]u=1-r{2}[/mm]
>
> Dann ist [mm]u'=-2r[/mm] bzw. [mm]du = \ -2r \ dr[/mm]
>
> Mit dieser Erkenntnis kannst Du die Stammfunktion
> berechnen.
>
>
> >
> > Ist dann hier das [mm]r^2[/mm] gleich der 1 und [mm]x^2[/mm] gleich dem [mm]r^2?[/mm]
> >
> > Danke!
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
=|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })
[/mm]
[mm] u=1-r^2 [/mm] -> [mm] \frac{du}{dr}=-2r [/mm] -> dr = [mm] \frac{-du}{2r}
[/mm]
-> =|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{u}\frac{-1}{2r}}}) \ du) \ d\phi })
[/mm]
=|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })
[/mm]
Meinst du so?
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> >
> > > [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{a\cdot{}b\cdot{}c\cdot{}r \ dz}) \ dr )\ d\phi }[/mm]
> > > = |abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{r \ dz}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > >
> > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({rz |_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
> > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
> > >
> > > Bis hierhin müsste es doch noch stimmen.
> > >
> > > Jetzt hatten wir in der Vorlesung folgendes:
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}[/mm] dx = [mm]\frac{r^2}{2} arcsin(\frac{x}{r})+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}[/mm]
>
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> > >
> > > Kann ich das dann hier verwenden?
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Schau Dir den Integranden etwas genauer an:
> >
> > [mm]2r\sqrt{1-r^2}[/mm]
> >
> > Wähle hier [mm]u=1-r{2}[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]u'=-2r[/mm] bzw. [mm]du = \ -2r \ dr[/mm]
> >
> > Mit dieser Erkenntnis kannst Du die Stammfunktion
> > berechnen.
> >
> >
> > >
> > > Ist dann hier das [mm]r^2[/mm] gleich der 1 und [mm]x^2[/mm] gleich dem [mm]r^2?[/mm]
> > >
> > > Danke!
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Hallo,
>
> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
>
> [mm]u=1-r^2[/mm] -> [mm]\frac{du}{dr}=-2r[/mm] -> dr = [mm]\frac{-du}{2r}[/mm]
>
> -> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{u}\frac{-1}{2r}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> Meinst du so?
Ja.
Hier musst Du allerdings dann noch
die Grenzen des inneren Integrals ändern.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
>
> > > Hallo Bodo0686,
> > >
> > >
> > > > [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{a\cdot{}b\cdot{}c\cdot{}r \ dz}) \ dr )\ d\phi }[/mm]
> > > > = |abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ (\integral_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}{r \ dz}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({rz |_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
> > > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] (
> > > > [mm]\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
> > > >
> > > > Bis hierhin müsste es doch noch stimmen.
> > > >
> > > > Jetzt hatten wir in der Vorlesung folgendes:
> > > >
> > > > [mm]\integral_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}[/mm] dx = [mm]\frac{r^2}{2} arcsin(\frac{x}{r})+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Kann ich das dann hier verwenden?
> > >
> > >
> > > Nein.
> > >
> > > Schau Dir den Integranden etwas genauer an:
> > >
> > > [mm]2r\sqrt{1-r^2}[/mm]
> > >
> > > Wähle hier [mm]u=1-r{2}[/mm]
> > >
> > > Dann ist [mm]u'=-2r[/mm] bzw. [mm]du = \ -2r \ dr[/mm]
> > >
> > > Mit dieser Erkenntnis kannst Du die Stammfunktion
> > > berechnen.
> > >
> > >
> > > >
> > > > Ist dann hier das [mm]r^2[/mm] gleich der 1 und [mm]x^2[/mm] gleich dem [mm]r^2?[/mm]
> > > >
> > > > Danke!
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> > Hallo,
> >
> > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{1-r^2}}}) \ dr) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > [mm]u=1-r^2[/mm] -> [mm]\frac{du}{dr}=-2r[/mm] -> dr = [mm]\frac{-du}{2r}[/mm]
> >
> > -> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({2r{\sqrt{u}\frac{-1}{2r}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > Meinst du so?
>
>
> Ja.
>
> Hier musst Du allerdings dann noch
> die Grenzen des inneren Integrals ändern.
>
>
> >
> > Grüße
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
=|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })
[/mm]
-> Grenze ändern... wie ging das denn nochmal?
[mm] u=1-r^2 [/mm] für r nun [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] einsetzen -> [mm] u=\frac{1}{2} [/mm] (obere Grenze)
[mm] u=1-r^2 [/mm] für r nun 0 einsetzen -> u = 1 (untere Grenze)
=|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })
[/mm]
ich bin mir absolut nicht sicher.... sieht auf jeden Fall ziemlich merkwürdig aus...
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> Hallo,
>
> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> -> Grenze ändern... wie ging das denn nochmal?
>
> [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] einsetzen ->
> [mm]u=\frac{1}{2}[/mm] (obere Grenze)
> [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun 0 einsetzen -> u = 1 (untere Grenze)
>
> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> ich bin mir absolut nicht sicher.... sieht auf jeden Fall
> ziemlich merkwürdig aus...
Das stimmt doch.
Durch das "-" im Integranden eird erstmel der Wert des Integrals
zunächst negativ.
Die Tatsache, daß die Obergrenze kleiner als die Untergrenze ist,
wird der zunächst negative Wert des Integrals wieder positiv.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > Hallo,
> >
> > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > -> Grenze ändern... wie ging das denn nochmal?
> >
> > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] einsetzen ->
> > [mm]u=\frac{1}{2}[/mm] (obere Grenze)
> > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun 0 einsetzen -> u = 1 (untere
> Grenze)
> >
> > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > ich bin mir absolut nicht sicher.... sieht auf jeden Fall
> > ziemlich merkwürdig aus...
>
>
> Das stimmt doch.
>
> Durch das "-" im Integranden eird erstmel der Wert des
> Integrals
> zunächst negativ.
>
> Die Tatsache, daß die Obergrenze kleiner als die
> Untergrenze ist,
> wird der zunächst negative Wert des Integrals wieder
> positiv.
>
>
> >
> > Grüße
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
=|abc| [mm] \integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi }) [/mm] ok nun weiter.
=|abc| [mm] -\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}u^{1,5}|_{1}^{0,5}}) d\phi [/mm] )
=|abc| [mm] -\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}0,5^{1,5}-\frac{1}{1,5}1^{1,5}}) d\phi [/mm] )
=|abc| [mm] -\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{0,5}{1,5}^{1,5}-\frac{2}{3}}) d\phi [/mm] )
nun hänge ich leider wieder...
gruß
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > >
> > > -> Grenze ändern... wie ging das denn nochmal?
> > >
> > > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] einsetzen ->
> > > [mm]u=\frac{1}{2}[/mm] (obere Grenze)
> > > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun 0 einsetzen -> u = 1 (untere
> > Grenze)
> > >
> > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > >
> > > ich bin mir absolut nicht sicher.... sieht auf jeden Fall
> > > ziemlich merkwürdig aus...
> >
> >
> > Das stimmt doch.
> >
> > Durch das "-" im Integranden eird erstmel der Wert des
> > Integrals
> > zunächst negativ.
> >
> > Die Tatsache, daß die Obergrenze kleiner als die
> > Untergrenze ist,
> > wird der zunächst negative Wert des Integrals wieder
> > positiv.
> >
> >
> > >
> > > Grüße
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Hallo,
>
> =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
> ok nun weiter.
>
> =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}u^{1,5}|_{1}^{0,5}}) d\phi[/mm]
> )
>
> =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}0,5^{1,5}-\frac{1}{1,5}1^{1,5}}) d\phi[/mm]
> )
>
> =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{0,5}{1,5}^{1,5}-\frac{2}{3}}) d\phi[/mm]
> )
>
Nun,
[mm]\frac{0,5}{1,5}^{1,5}-\frac{2}{3}[/mm]
ist eine Konstante bezüglich [mm]\phi[/mm]
> nun hänge ich leider wieder...
>
> gruß
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > > Hallo Bodo0686,
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > -> Grenze ändern... wie ging das denn nochmal?
> > > >
> > > > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] einsetzen ->
> > > > [mm]u=\frac{1}{2}[/mm] (obere Grenze)
> > > > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun 0 einsetzen -> u = 1 (untere
> > > Grenze)
> > > >
> > > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > ich bin mir absolut nicht sicher.... sieht auf jeden Fall
> > > > ziemlich merkwürdig aus...
> > >
> > >
> > > Das stimmt doch.
> > >
> > > Durch das "-" im Integranden eird erstmel der Wert des
> > > Integrals
> > > zunächst negativ.
> > >
> > > Die Tatsache, daß die Obergrenze kleiner als die
> > > Untergrenze ist,
> > > wird der zunächst negative Wert des Integrals
> wieder
> > > positiv.
> > >
> > >
> > > >
> > > > Grüße
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> > Hallo,
> >
> > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
> > ok nun weiter.
> >
> > =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}u^{1,5}|_{1}^{0,5}}) d\phi[/mm]
> > )
> >
> > =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}0,5^{1,5}-\frac{1}{1,5}1^{1,5}}) d\phi[/mm]
> > )
> >
> > =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{0,5}{1,5}^{1,5}-\frac{2}{3}}) d\phi[/mm]
> > )
> >
>
>
> Nun,
>
> [mm]\frac{0,5}{1,5}^{1,5}-\frac{2}{3}[/mm]
>
> ist eine Konstante bezüglich [mm]\phi[/mm]
>
>
> > nun hänge ich leider wieder...
> >
> > gruß
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
also wäre die Lösung nun:
>|abc| [mm] 2\pi (\frac{2}{3} -\frac{0,5}{1,5}^{1,5})
[/mm]
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> > > > Hallo Bodo0686,
> > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{0}^{_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > -> Grenze ändern... wie ging das denn nochmal?
> > > > >
> > > > > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] einsetzen ->
> > > > > [mm]u=\frac{1}{2}[/mm] (obere Grenze)
> > > > > [mm]u=1-r^2[/mm] für r nun 0 einsetzen -> u = 1
> (untere
> > > > Grenze)
> > > > >
> > > > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
>
> >
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> > > > >
> > > > > ich bin mir absolut nicht sicher.... sieht auf jeden Fall
> > > > > ziemlich merkwürdig aus...
> > > >
> > > >
> > > > Das stimmt doch.
> > > >
> > > > Durch das "-" im Integranden eird erstmel der Wert des
> > > > Integrals
> > > > zunächst negativ.
> > > >
> > > > Die Tatsache, daß die Obergrenze kleiner als die
> > > > Untergrenze ist,
> > > > wird der zunächst negative Wert des Integrals
> > wieder
> > > > positiv.
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Grüße
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > > Hallo,
> > >
> > > =|abc| [mm]\integral_{0}^{2\pi} (\integral_{1}^{\frac{1}{2}}{ ({{-\sqrt{u}}}) \ du) \ d\phi })[/mm]
> > > ok nun weiter.
> > >
> > > =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}u^{1,5}|_{1}^{0,5}}) d\phi[/mm]
> > > )
> > >
> > > =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{1}{1,5}0,5^{1,5}-\frac{1}{1,5}1^{1,5}}) d\phi[/mm]
> > > )
> > >
> > > =|abc| [mm]-\integral_{0}^{2\pi} ({\frac{0,5}{1,5}^{1,5}-\frac{2}{3}}) d\phi[/mm]
> > > )
> > >
> >
> >
> > Nun,
> >
> > [mm]\frac{0,5}{1,5}^{1,5}-\frac{2}{3}[/mm]
> >
> > ist eine Konstante bezüglich [mm]\phi[/mm]
> >
> >
> > > nun hänge ich leider wieder...
> > >
> > > gruß
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Hallo,
>
> also wäre die Lösung nun:
>
> >|abc| [mm]2\pi (\frac{2}{3} -\frac{0,5}{1,5}^{1,5})[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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