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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 11.04.2005 | | Autor: | ThommyM |
Habe folgende Frage zu der Abb. [mm]f: ]1, \infty[ \times ]0,2*\pi] \to \IR \times \IR, f(r, \alpha)= \vektor{r*cos \alpha \\ r*sin \alpha[/mm].
Und zwar haben wir in der Vorlesung gesagt, dass [mm]f^{-1}[/mm] nicht stetig ist. Warum ist das denn so? Oder ist das einfach nur deswegen der Fall, weil wenn man sich (graphisch gesehen) im Einheitskreis wieder der reellen Achse nähert, also entweder [mm]\alpha[/mm] gegen 0 oder gegen [mm]2*\pi[/mm] geht, dass man dann im Bildraum zum gleichen Punkt gelangt, aber der Abstand zwischen 0 und [mm]2*\pi[/mm] nicht gegen 0 geht?
(Schwer zu erklären, ich hoffe man versteht das  )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Thomas!
Ja, das ist vollkommen richtig, was du da schreibst.
Es seien [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(w_n)_{n \in \IN}$ [/mm] zwei Folgen komplexer Zahlen auf dem Einheitskreis, die beide gegen $1$ konvergieren.
Es gelte:
[mm] $Im(z_n)>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$
[/mm]
und
[mm] $Im(w_n)<0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann haben wir:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}f^{-1}(z_n)=(1,0) \ne (1,2\pi) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} f^{-1}(w_n)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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