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Hallo,
zuerst: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgende Abbildung:
[m]P_3: \IR^3 \to \IR^3 (r,\phi,\theta) \mapsto (r cos \phi cos \theta, r sin \phi cos \theta , r sin \theta)[/m]
Beweisen si, dass die Einschränkung von [mm] P_3 [/mm] auf U:= [mm] \IR_{>0}\times]-\pi,\pi[\times]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[ [/mm] injektiv ist und bestimmen sie das Bild V:= [mm] P_3(U)
[/mm]
Also anschaulich kann ich das alles sehr gut nachvollziehen mir fehlt jedoch jeglicher Ansatz um es formal zu beweisen.
Außerdem soll ich die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen.
als [mm] P_3^{-1} [/mm] habe ich [mm] (r,\phi,\theta) \mapsto (\bruch{r}{cos\phi cos\theta},arcsin \bruch{\phi}{r cos\theta}, arcsin\bruch{\theta}{r})
[/mm]
stimmt die? Wie gehe ich am geschicktesten beim Ableiten vor?
Vielen Dank für eure Hilfe im vorraus
Gruß Alexis
P.S.: Wie kann ich in den Formeln ein Freizeichen einfügen bei mir werden die immer geschluckt und an manchenstellen wäre es doch der übersichthalber ein wenig besser?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 So 12.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alexis!
> Ich habe folgende Abbildung:
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> [m]P_3: \IR^3 \to \IR^3 (r,\phi,\theta) \mapsto (r cos \phi cos \theta, r sin \phi cos \theta , r sin \theta)[/m]
>
> Beweisen si, dass die Einschränkung von [mm]P_3[/mm] auf U:=
> [mm]\IR_{>0}\times]-\pi,\pi[\times]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[[/mm]
> injektiv ist
Aus [mm] $P_3(r_1,\phi_1,\theta_1) [/mm] = [mm] P_3(r_2,\phi_2,\theta_2)$ [/mm] folgt zunächst
[mm] $r_1 [/mm] = [mm] \Vert P_3(r_1,\phi_1,\theta_1) \Vert= \Vert P_3(r_2,\phi_2,\theta_2) \Vert [/mm] = [mm] r_2$.
[/mm]
Dann schaust du dir die dritte Komponente an und schließt auf [mm] $\theta_1=\theta_2$. [/mm] Der Rest ist dann ebenso einfach.
und bestimmen sie das Bild V:= [mm]P_3(U)[/mm]
Schau dir mal das Komplement an...
> Also anschaulich kann ich das alles sehr gut nachvollziehen
> mir fehlt jedoch jeglicher Ansatz um es formal zu
> beweisen.
>
> Außerdem soll ich die Ableitung der Umkehrfunktion
> berechnen.
>
> als [mm]P_3^{-1}[/mm] habe ich [mm](r,\phi,\theta) \mapsto (\bruch{r}{cos\phi cos\theta},arcsin \bruch{\phi}{r cos\theta}, arcsin\bruch{\theta}{r})[/mm]
>
> stimmt die? Wie gehe ich am geschicktesten beim Ableiten
> vor?
Bilde einfach die Jacobi-Matrix von [mm] $P_3$ [/mm] und invertiere sie. Dann erhältst du auf diese Weise die Jocobi-Matrix von [mm] $P_3^{-1}$.
[/mm]
> P.S.: Wie kann ich in den Formeln ein Freizeichen einfügen
> bei mir werden die immer geschluckt und an manchenstellen
> wäre es doch der übersichthalber ein wenig besser?
Im LaTex-Code gibt es die folgenden Möglichkeiten:
\, ein sehr kleiner Abstand
\enspace so breit wie eine Ziffer
\quad so breit, wie ein Buchstabe hoch ist
\qquad doppelt so breit wie ein [mm] \quad [/mm]
\hfill Abstand zwischen 0 und unendlich
\hspace{n} Ein n breiter Abstand
\! Ein negativer Abstand
Viele Grüße
Stefan
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