Poissonverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 01.08.2010 | | Autor: | Torkin |
| Aufgabe | Die benötigte Semesteranzahl eines Studierenden i bis zum Abschluss eines Hochschuldiploms sei eine poissonverteilte Zufallsvariable Xi mit einem Erwartungswert von 11 Semestern. Es wird angenommen, dass es keine Studienabbrecher gibt. Pro Semester muss ein Studierender 500€ Studiengebühren zahlen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamten Studiengebühren bis zum Hochschulabschluss aller 100 Studierenden 600000€ übersteigen? |
Hi,
ich bin mir ziemlich sicher, dass ich bei der Aufgabe die Verteilung mit folgender Formel approximieren muss: X [mm] \sim [/mm] N (nµ; [mm] \wurzel{n*sigma^2}. [/mm] Aber ich komme einfach nicht auf das richtige N, µ müsste doch 11 sein, oder nicht? Ergebnis soll laut Lösung 0.0013 sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Di 03.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Tatsächlich liegt hier offenbar ein klassischer Fall des zentralen Grenzwertsatzes vor, zumindest dann wenn wir annehmen, dass die Semesteranzahl der einzelnen Studierenden unabhängig voneinander ist - identisch verteilt sind sie ja defintiv nach Aufgabenstellung.
Für die Poissonverteilung sind Varianz [mm] $\sigma^2$ [/mm] und Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] gleich.
Es sei nun [mm] $S_n$ [/mm] die Summe aller Gebühren. Gesucht ist [mm] $P(S_n \ge [/mm] 600000)$. Laut ZGWS gilt:
[mm] $P(Z_n \le [/mm] k)$ mit [mm] $Z_n [/mm] = [mm] \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}$ [/mm] verhält sich in etwa wie die Standardnormalverteilung [mm] $\Phi(k).$
[/mm]
Kommst du nun alleine weiter?
Gruß, Dester
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:45 Di 03.08.2010 | | Autor: | Torkin |
Hi,
danke für die Antwort! Also wir hatten nur die zentralen Grenzwertsätze von Levy, De Moivre und Laplace. Da erkenne ich deine Formel aber leider nicht wieder. Kann man das auch mit einen von den beiden Sätzen lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Mi 04.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Moivre-Laplace ist ja ein Spezialfall des verallgemeinerten ZGWS, nämlich für binomialverteilte Zufallsvariablen.
Vielleicht schreibst du kurz, wie ihr den ZGWS allgemein formuliert habt.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Mi 04.08.2010 | | Autor: | Torkin |
Das Problem ist, dass wir das den gar nicht formuliert haben. In meinem Skript steht unter Zentrale Grenzwertsätze nur die beiden von mir genannten und der von Lindeberg, mehr haben wir nicht behandelt zu dem Thema.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 Mi 04.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Du brauchst in deinem Fall den verallgemeinerten Grenzwertsatz für n identlische verteilte und voneinander unabhängige Zufallsvariablen. Ist natürlich verwunderlich, dass ihr den Satz gar nicht aufgeschrieben habt.
Es gibt aber eine Menge Literatur dazu (in jedem Stochastik/Statistik-Lehrbuch sollte ers stehen) bzw. wirst du sicher auch ganz schnell fündig, wenn du mal nach ZGWS googelst. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 06.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mi 04.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Die benötigte Semesteranzahl eines Studierenden i bis zum
> Abschluss eines Hochschuldiploms sei eine poissonverteilte
> Zufallsvariable Xi mit einem Erwartungswert von 11
> Semestern. Es wird angenommen, dass es keine
> Studienabbrecher gibt. Pro Semester muss ein Studierender
> 500€ Studiengebühren zahlen.
>
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamten
> Studiengebühren bis zum Hochschulabschluss aller 100
> Studierenden 600000€ übersteigen?
> Hi,
> ich bin mir ziemlich sicher, dass ich bei der Aufgabe die
> Verteilung mit folgender Formel approximieren muss: X [mm]\sim[/mm]
> N (nµ; [mm]\wurzel{n*sigma^2}.[/mm] Aber ich komme einfach nicht
> auf das richtige N, µ müsste doch 11 sein, oder nicht?
> Ergebnis soll laut Lösung 0.0013 sein.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Poissionverteilung ist repruduktiv, d.h. die Summe unab. poissionverteilter ZV ist poissionverteilt.
Seien [mm] X_i [/mm] unab. ZV mit Poissionverteulung zum Parameter [mm] \lambda_X [/mm] (der GLeichzeitig auch Erwartungswert und Varianz ist). Sei N=100, S=600000 und b=500.
Du suchst [mm] P(\{\summe_{i=1}^N b*X_i>S\})=P(\{\summe_{i=1}^N X_i>S/b\})=1-P(\{\summe_{i=1}^N X_i\le S/b\})=1-P(\{Z\le S/b\}), [/mm] wobei Z nun auch poissionverteilt ist mit dem Erwartungswert [mm] \lambda_Z=N*\lambda_X.
[/mm]
Für große [mm] \lambda [/mm] ist die Possionverteilung näherungweise [mm]\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm]-verteilt mit [mm] \mu=\sigma^2=\lambda.
[/mm]
1-NORMVERT(1200;1100;WURZEL(1100);1)=0,001284416
LG
gfm
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