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Ich beschaeftige mich gerade mit der Modellierung des Intervalls zwischen zwei Aktionspotentialen innerhalb einer Population von Neuronen. Das mathematische Modell ist wie folgt:
Die Folge der Aktionspotenziale (=Ereignisse) jedes einzelnen Neurons wird als ein eigener Poissonprozess modelliert. Die Ereignisse aller Poissonprozesse werden zu einer Folge zusammengefasst und nach dem Zeitpunkt ihres Auftretens geordnet. Nun ermittelt man zu jedem Ereignis den zeitlichen Abstand bis zum naechsten Ereignis. Wie sind diese Abstaende unter folgenden Annahmen verteilt, wenn alle Poissonprozesse unabhaengig sind und die Intesitaet lambda betraegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 28.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Die Folge der Aktionspotenziale (=Ereignisse) jedes
> einzelnen Neurons wird als ein eigener Poissonprozess
> modelliert. Die Ereignisse aller Poissonprozesse werden zu
> einer Folge zusammengefasst und nach dem Zeitpunkt ihres
> Auftretens geordnet. Nun ermittelt man zu jedem Ereignis
> den zeitlichen Abstand bis zum naechsten Ereignis. Wie sind
> diese Abstaende unter folgenden Annahmen verteilt, wenn
> alle Poissonprozesse unabhaengig sind und die Intesitaet
> lambda betraegt?
Die Zwischenankunftszeiten des Poissonprozesses sind exponentialverteilt.
Das Minimum einer Folge von unabh. exp-vtlten Zufallsvariablen ist wieder exp-vtlt.
Sind [mm] $X_1,X_2,\ldots, X_n$ [/mm] unabh. ZV mit [mm] $X_i \sim exp(\lambda_i)$, [/mm] so gilt [mm] $min(X_1,X_2,\ldots,X_n)\sim exp(\sum_{i=1}^n \lambda_i)$.
[/mm]
Da die Exponentialverteilung gedächtnislos ist, und damit nach dem Eintreten des ersten Ereignisses bei den beobachteten Poissonprozessen das Warten wieder von vorne losgeht (wieder [mm] $exp(\sum_{i=1}^n \lambda_i)$-verteilt), [/mm] hättest Du also einen neuen Poissonprozeß, dessen Intensität gerade die Summe der Intensitäten der einzelnen Poissonprozesse ist.
ciao
Stefan
EDIT: Wieso sollten zwei aufeinanderfolgende Ereignisse dem gleichen Prozeß entstammen müssen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Do 28.08.2008 | | Autor: | mathpsycho |
Hallo Stefan,
vielen Dank für Deine Antwort. Leider ist damit mein Problem noch nicht gelöst, denn zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Ereignisse müssen nicht dem gleichen Poissonprozess entstammen.
Viele Grüße, Falk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 27.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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