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Hallo!
Zuerst einmal noch nachträglich alles gute im neuen Jahr!
Auf das es ein gutes Jahr wird!
Nun aber zu meinem Problem:
Hänge mal wielder an 2 Aufgaben:
1.)
z.Z.: Für die WSK-Fkt. der Binomialvert. b(n.p) gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b(n,p_{n})(k)=e^{-\lambda} \bruch{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
für jedes k [mm] \in \IN_{0}, [/mm] falls [mm] p_{n} \to [/mm] 0 und [mm] np_{n} \to \lambda [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
2.)
Wie groß ist die WSK, dass nicht mehr als 1% Schrauben in einer Packung à 1000 Schrauben fehlerhaft ist,
wenn erfahrungsgemäß 1% aller Schrauben fehlerhaft ist?
[Berechnung mit de Moivre-Laplace (einfach und verbessert), mit Binomialvert. & mit obiger Formel (Aufg.1)].
Habe mal wieder keinen blassen Schimmer, wie ich daran gehen soll.
Das einzige was ich kenne, sind die Formeln zur Berechnung.
Leider nicht viel!
Sorry!
Wäre Euch wieder sehr dankbar, wenn Ihr mir helfen könnt!
Brauche nämlcih unbed. den Stochastik-Schein (den einzigen in meinem Leben)!
Vielen Dank schonmal im Voraus.
MfG
Mario
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:44 Di 11.01.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
der erste Teil sieht mir stark nach dem Poissonschen Grenzwertsatz aus, den ich allerdings nur für Verteilungskonvergenz kenne... Er kann z.B. mit dem Lemma von Scheffe bewiesen werden. Hoffe, das hilft Dir vielleicht weiter!
Gruß djmatey!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Di 11.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Mario!
> Zuerst einmal noch nachträglich alles gute im neuen Jahr!
> Auf das es ein gutes Jahr wird!
Gleiches dir auch! 
> Nun aber zu meinem Problem:
> Hänge mal wielder an 2 Aufgaben:
>
> 1.)
> z.Z.: Für die WSK-Fkt. der Binomialvert. b(n.p) gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b(n,p_{n})(k)=e^{-\lambda} \bruch{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
>
> für jedes k [mm]\in \IN_{0},[/mm] falls [mm]p_{n} \to[/mm] 0 und [mm]np_{n} \to \lambda[/mm]
> für n [mm]\to \infty.
[/mm]
Die Voraussetzung [mm] $p_n \to [/mm] 0$ braucht man hier gar nicht, denn die folgt ja automatisch aus [mm] $np_n \to \lambda$.
[/mm]
Dies ist ein Standardbeweis, den ich aber mal aufschreibe, da ich ihn bisher im Forum mit der Suchfunktion nicht gefunden habe.
Wir setzen als bekannt voraus:
Ist [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine gegen $a [mm] \in \IR$ [/mm] konvergente reelle Zahlenfolge, so gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a_n}{n} \right) [/mm] = [mm] e^a$.
[/mm]
Nun gilt für festes $k [mm] \in \IZ_+$ [/mm] für [mm] $a_n:= [/mm] - [mm] np_n$:
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} a_n [/mm] = - [mm] \lambda$,
[/mm]
und daher:
[mm] $b(n,p_n)(k) [/mm] = {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot p_n^k \cdot (1-p_n)^{n-1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n!}{k! (n-k)!} \cdot \left( \frac{-a_n}{n} \right)^k \cdot \left( 1+ \frac{a_n}{n} \right)^{n-k}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \underbrace{\frac{n-1}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{n-k+1}{n}}_{ \to 1 \quad (n \to \infty)} \cdot (-a_n)^k \cdot \left( 1 + \frac{a_n}{n} \right)^n \cdot \underbrace{\left( 1 + \frac{a_n}{n} \right)^{-k}}_{ \to 1 \quad (n \to \infty)} [/mm] $.
Daraus folgt mit obigem:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} b(n,p_n)(k) [/mm] = [mm] \frac{1}{k!} \cdot \lambda^k \cdot e^{-\lambda}$,
[/mm]
was zu zeigen war.
> 2.)
> Wie groß ist die WSK, dass nicht mehr als 1% Schrauben in
> einer Packung à 1000 Schrauben fehlerhaft ist,
> wenn erfahrungsgemäß 1% aller Schrauben fehlerhaft ist?
> [Berechnung mit de Moivre-Laplace (einfach und
> verbessert), mit Binomialvert. & mit obiger Formel
> (Aufg.1)].
Das ist ja jetzt nur noch einsetzen in die Formeln...
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Do 13.01.2005 | | Autor: | adonis1981 |
Hi Julius!
Vielen lieben Dank (mal wieder) für Deine nette Hilfe!
VlG
Mario
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Kurze Frage dazu: wenn nun n = 1000 ist, dann kommt ja in der Binomialverteilung der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{1000 \\ 10}[/mm] vor. Dadurch, daß das k hier recht klein ist (10) wird ja auch das Ergebnis nicht alzu groß. Dummerweise kann aber der Taschenrechner in der Regel nur bis 69! rechnen, was hier ja noch erheblich vom Ziel entfernt ist! Es gab trotzdem eine Möglichkeit, solche Binomialkoeffizienten auszurechnen, diese finde ich nur leider nicht mehr! Kann mir da jemand weiterhelfen?
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Hallo Tobias!
> Kurze Frage dazu: wenn nun n = 1000 ist, dann kommt ja in
> der Binomialverteilung der Binomialkoeffizient [mm]\vektor{1000 \\ 10}[/mm]
> vor. Dadurch, daß das k hier recht klein ist (10) wird ja
> auch das Ergebnis nicht alzu groß. Dummerweise kann aber
> der Taschenrechner in der Regel nur bis 69! rechnen, was
> hier ja noch erheblich vom Ziel entfernt ist! Es gab
> trotzdem eine Möglichkeit, solche Binomialkoeffizienten
> auszurechnen, diese finde ich nur leider nicht mehr! Kann
> mir da jemand weiterhelfen?
Also die direkte Methode lautet Kürzen  Es gilt ja
[mm]\vektor{1000 \\ 10}=\frac{1000!}{10! \cdot 990!}=\frac{1000\cdot 999\cdot\ldots\cdot991}{10\cdot 9\cdot\ldots\cdot 1}.[/mm]
Ich denke, das kann man noch eintippen. (Um Rundungsfehler zu vermeiden, sollte man abwechselnd Faktoren aus Zähler und Nenner einbeziehen. ) Ansonsten gibt es die Möglichkeit $n!$ durch die sog. Stirlingsche Formel anzunähern:
[mm]n!\approx \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}[/mm]
Aber ich denke, das ist hier noch nicht nötig.
Viele Grüße
Brigitte
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