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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:58 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Kainor |
| Aufgabe | [mm] y'=1-y^2 [/mm] y(0)=2
a) Bestimmen Sie die exakte LÄosung des Anfangswertproblems.
b) Führen Sie vier Schritte der Picard-Iteration durch.
c) Zeichnen Sie die exakte Lösung und die vier Picard-Iterationen.
d) Leiten Sie aus b) die Potenzreihendarstellung der Lösung ab, in welchem
Intervall konvergiert die Reihe ? |
a) und b) ,c) sind kein Probelm aber d)
[mm] y(x)=\frac{1+3 e^{2 x}}{-1+3 e^{2 x}}
[/mm]
[mm] y(4,x)=2-3x+6x^2-11 x^3+20 x^4-30 x^5+\frac{206 x^6}{5}-\frac{1769 x^7}{35}+\frac{1902 x^8}{35}-\frac{1794 x^9}{35}+\frac{7116 x^{10}}{175}-\frac{50562 x^{11}}{1925}+\frac{468 x^{12}}{35}-\frac{2232 x^{13}}{455}+\frac{54 x^{14}}{49}-\frac{27 x^{15}}{245} [/mm]
das ist die Lösung für die 4 Picard Iteration. (stimmt das?)
Wie find ich jetzt die Reihe und ist das richtig das nur die ersten 5 Summanden "gesichert sind", dh. der Rest müsste ja dann gehen null gehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Wie bist du denn auf die exakte Lösung gekommen?
Ich hab y(x)=tanh(x)+2 raus. Dann ist y auch für alle x definiert, da y weder 1 noch -1 als Werte annehmen kann.
Deine Lösung geht zwar auch in die Richtung, kann aber glaub ich nicht ganz stimmen.
Dementsprechend solltest du dann auch bei der Picard-Iteration auf die Partialsummen (plus 2) der Potenzreihendarstellung des tanh kommen.
Grüße,
Doing
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Kainor |
Die Lösung habe ich mittels Trennung der Variablen ermittelt und durch Mathematica verifiziert.
Edit: Für mich würde auch eher coth(x) Sinn machen: [mm] \frac{1+3 e^{2 x}}{-1+3 e^{2 x}}=1+\frac{2}{-1+3 e^{2 x}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Ja deine Lösung sieht mehr nach coth aus. coth stimmt aber sicher nicht. hast du mal versucht deine Lösung einzusetzen? ich denk nicht dass das richtig ist. wie auch immer; die stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1-y^2} [/mm] ist auf jeden fall arctanh(y). ich hab aber auch einen dummen fehler beim ermittlen der integrationskonstanten gemacht.
die lösung ist natürlich y(x)=tanh(x+arctanh(2)). die ist aber richtig.
Grüße
Doing
edit: mann, mann tut mir echt leid;...coth(x) löst die dgl natülich auch.
nochmal edit: allerdings ist da natürlich das problem, dass coth nicht in 0 definiert ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Kainor |
Also ich sagt ich habe sie durch Mathemaica überprüfen lassen, also ist die Lsg. 100%! richtig. (natürlich kann man sie umschreiben bzw habe ich partialbruchzerlegung angewendet um das Integral zu lösen)
Das war auch nicht meine frage ich wollte wissen ob meine Picard-Iteratoin richtig ist und ggf. daraus die Unendliche Reihendarstellung meiner Lsg. herleiten(hier liegt mein Problem)
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Hallo Kainor,
> Also ich sagt ich habe sie durch Mathemaica überprüfen
> lassen, also ist die Lsg. 100%! richtig. (natürlich kann
> man sie umschreiben bzw habe ich partialbruchzerlegung
> angewendet um das Integral zu lösen)
>
> Das war auch nicht meine frage ich wollte wissen ob meine
> Picard-Iteratoin richtig ist und ggf. daraus die Unendliche
> Reihendarstellung meiner Lsg. herleiten(hier liegt mein
> Problem)
Die 4. Picard-Iterierte stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Do 12.11.2009 | | Autor: | Kainor |
ok ;) ich kann ja jetzt aus meiner Lsg der DGL die Reihe herleiten, was wahrscheinlich einfacher ist als der 4. Picard Iteration die Lsg. zuerraten.
ich habe jedoch kp wie das gehen sollen.
Es sieht zwar nach coth aber dort ist bei der Reihe ein Pi drin was ich nun garnicht in meiner Reihe wieder finden kann.
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Hallo Kainor,
> ok ;) ich kann ja jetzt aus meiner Lsg der DGL die Reihe
> herleiten, was wahrscheinlich einfacher ist als der 4.
> Picard Iteration die Lsg. zuerraten.
>
> ich habe jedoch kp wie das gehen sollen.
Schau Dir die ersten 4 Picard-Iterationen an.
>
> Es sieht zwar nach coth aber dort ist bei der Reihe ein Pi
> drin was ich nun garnicht in meiner Reihe wieder finden
> kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Kainor |
naja habe ich,
es muss glaube ich iwie so: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)*(2x)^{k}}{n!} [/mm] sein, aber ich seh da nix ;(
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Hallo Kainor,
> naja habe ich,
>
> es muss glaube ich iwie so: [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)*(2x)^{k}}{n!}[/mm] sein, aber ich seh da nix ;(
Betrachten wir die Picard-Iterationen:
[mm]p_{0}=2[/mm]
[mm]p_{1}=2-3*x+ ...[/mm]
[mm]p_{2}=2-3*x+6*x^{2}+ ...[/mm]
[mm]p_{3}=2-3*x+6x^{2}-11*x^{3}+ ...[/mm]
[mm]p_{4}=2-3*x-6*+x^{2}-11*x^{3}+20*x^{4}+ ...[/mm]
Frage Dich zu nächst, wie sich die "6" ergibt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 So 15.11.2009 | | Autor: | Kainor |
hm,
also die 6 ergibt sich auch [mm] \bruch{2*3+2*3}{2} [/mm] und die [mm] 11=\bruch{3*3+2*2*2*3}{3}
[/mm]
beim hinteren Summand ist vermutlich was mit [mm] 2^{k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^{k}*(n+2^{k}) [/mm] aber da fehlt mir dann die 2 und das kann doch nicht stimmen, das sieht ja garnicht nach einer e-Funktion aus
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Hallo Kainor,
> hm,
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> also die 6 ergibt sich auch [mm]\bruch{2*3+2*3}{2}[/mm] und die
> [mm]11=\bruch{3*3+2*2*2*3}{3}[/mm]
> beim hinteren Summand ist vermutlich was mit [mm]2^{k}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k}*(n+2^{k})[/mm] aber da fehlt mir dann
> die 2 und das kann doch nicht stimmen, das sieht ja
> garnicht nach einer e-Funktion aus
Für [mm]a_{1}[/mm] gilt:
[mm]a_{1}=1-a_{0}^{2}[/mm]
Die "6" ergibt sich hier wie folgt:
[mm]6=a_{2}=-\bruch{2*\left(-3\right)+\left(-3\right)*2}{2}=-\bruch{a_{0}*a_{1}+a_{1}*a_{0}}{2}=-a_{0}*a_{1}=a_{0}*\left(a_{0}^{2}-1\right)[/mm]
"-11" ergibt sich dann analog:
[mm]-11=a_{3}=-\bruch{a_{0}*a_{2}+a_{1}*a_{1}+a_{2}*a_{0}}{3}[/mm]
Jetzt kannst Du natürlich hergehen, und die Glieder der Potenzreihe
in Abhängigkeit von [mm]a_{0}[/mm] angegeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Kainor |
sry ich versteh das einfach nicht, also ich könnte mir jetz jedes Folgeglied so bauen ohne Picard machen zu müssen:
[mm] a_4=\bruch{2a_0*a_3+2a_1*a_2}{4}
[/mm]
[mm] a_5=\bruch{2a_0*a_4+2*a_1*a_3+a_2*a_2}{5}
[/mm]
Wenn ich da [mm] a_0 [/mm] immer einsetze komm ich auf nix, wo ich es allgemein asudrücken könnte und auch eine implizite Folge zu finden fällt schwer
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Hallo Kainor,
> sry ich versteh das einfach nicht, also ich könnte mir
> jetz jedes Folgeglied so bauen ohne Picard machen zu
> müssen:
>
> [mm]a_4=\bruch{2a_0*a_3+2a_1*a_2}{4}[/mm]
>
> [mm]a_5=\bruch{2a_0*a_4+2*a_1*a_3+a_2*a_2}{5}[/mm]
Ja, genauso so.
Daraus kannst Du Dir jetzt eine allgemeine Formel herleiten.
Die Formel ergibt sich auch, wenn Du in die DGL
gleich den Potenzreihenansatz machst.
>
> Wenn ich da [mm]a_0[/mm] immer einsetze komm ich auf nix, wo ich es
> allgemein asudrücken könnte und auch eine implizite Folge
> zu finden fällt schwer
Nun, wie soll man sonst den Konvergenzradius dieser Potenzreihe bestimmen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Kainor |
Also ich hab jetzt eine allgemeine Formel:
[mm] a_{n+1}=\summe_{k=0}^{n}a_k*a_{n-k} [/mm] bringt mir aber rein garnichts ^^. Den Konvergenzradius hatte ich erstmal außen vorgelassen.
btw: da vllt der Eindruck entsteht das ich von nix ne Ahnung habe, will ich erwähnen das es sich um eine Zusatzaufgabe mit * handelt und ich auch kein Mathe studiere.
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Hallo Kainor,
> Also ich hab jetzt eine allgemeine Formel:
>
> [mm]a_{n+1}=\summe_{k=0}^{n}a_k*a_{n-k}[/mm] bringt mir aber rein
Richtig ist hier:
[mm]a_{n+1}=\red{-\bruch{1}{n+1}}*\summe_{k=0}^{n}a_k*a_{n-k}[/mm]
mit [mm]a_{1}=1-a_{0}^{2}[/mm]
und [mm]a_{0}=y\left(0\right)[/mm]
> garnichts ^^. Den Konvergenzradius hatte ich erstmal außen
Was bringt Dir Deiner Meinung nach etwas?
> vorgelassen.
>
> btw: da vllt der Eindruck entsteht das ich von nix ne
> Ahnung habe, will ich erwähnen das es sich um eine
> Zusatzaufgabe mit * handelt und ich auch kein Mathe
> studiere.
Der "*" wir hier seine Berechtigung haben.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 13.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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