Picard-Lindelöf-Iteration < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wenden sie die Picard-Lindelöf Iteration
[mm] y_0=\eta
[/mm]
[mm] y_{n+1}=\eta+ \integral_{\xi}^{x}{f(t,y_n(t))) dt}
[/mm]
für das AWP
y'(x)=x y(x)+1, y(0)=0
an.
Berechnen sie genügend viele Iterationsschritte, um eine explizite Formel für yn zu erkennen. Beweisen Sie dieser durch vollständige Induktion. |
Hallo zusammen,
Also die Iterationsvorschrift lautet ja:
[mm] y_0=\eta
[/mm]
[mm] y_{n+1}=\eta+ \integral_{\xi}^{x}{f(t,y_n(t))) dt}
[/mm]
Die Iterationsschritte waren kein Problem durchzuführen. Bei [mm] y_5 [/mm] hab ich aufgehört und es kam raus:
[mm] y_5=\bruch{1}{945}t^9+\bruch{1}{105}t^7+\bruch{1}{15}t^5+\bruch{1}{3}t^3+t
[/mm]
So jetzt hab ich gedacht:
[mm] y_n= \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}= [/mm] ???
Hmm hier weiß ich irgendwie nicht wie ich das jetzt mache. Wie die vollständige Induktion funktioniert weiß ich, aber wie setze ich jetzt meine Behauptung??
Über eure Antwort würde ich mich seehr freuen.
Liebe Grüße
Britta_lernt
|
|
| |
|
Hallo Britta_lernt,
> Wenden sie die Picard-Lindelöf Iteration
>
> [mm]y_0=\eta[/mm]
>
> [mm]y_{n+1}=\eta+ \integral_{\xi}^{x}{f(t,y_n(t))) dt}[/mm]
>
> für das AWP
>
> y'(x)=x y(x)+1, y(0)=0
>
> an.
>
> Berechnen sie genügend viele Iterationsschritte, um eine
> explizite Formel für yn zu erkennen. Beweisen Sie dieser
> durch vollständige Induktion.
> Hallo zusammen,
>
> Also die Iterationsvorschrift lautet ja:
>
> [mm]y_0=\eta[/mm]
>
> [mm]y_{n+1}=\eta+ \integral_{\xi}^{x}{f(t,y_n(t))) dt}[/mm]
>
> Die Iterationsschritte waren kein Problem durchzuführen.
> Bei [mm]y_5[/mm] hab ich aufgehört und es kam raus:
>
> [mm]y_5=\bruch{1}{945}t^9+\bruch{1}{105}t^7+\bruch{1}{15}t^5+\bruch{1}{3}t^3+t[/mm]
>
> So jetzt hab ich gedacht:
>
> [mm]y_n= \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=[/mm] ???
Der Nenner stimmt hier nicht, da [mm]5! \not=15[/mm]
> Hmm hier weiß ich irgendwie nicht wie ich das jetzt
> mache. Wie die vollständige Induktion funktioniert weiß
> ich, aber wie setze ich jetzt meine Behauptung??
>
> Über eure Antwort würde ich mich seehr freuen.
>
> Liebe Grüße
>
> Britta_lernt
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Mathepower,
> > achja es müsste so sein
> > [mm]y_n= \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{x^{2i+1}}{1*3*5*...*(2i+1)}=[/mm] ???
>
>
> Der Nenner stimmt hier nicht, da [mm]5! \not=15[/mm]
>
>
> > Hmm hier weiß ich irgendwie nicht wie ich das jetzt
> > mache. Wie die vollständige Induktion funktioniert weiß
> > ich, aber wie setze ich jetzt meine Behauptung??
> >
Leider komme ich hier immernoch nicht weiter :(
> > Über eure Antwort würde ich mich seehr freuen.
> >
Liebe Grüße
Britta_lernt
|
|
|
| |
|
Hallo Britta_lernt,
> Hallo Mathepower,
> > > achja es müsste so sein
> > > [mm]y_n= \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{x^{2i+1}}{1*3*5*...*(2i+1)}=[/mm]
> ???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> >
> > Der Nenner stimmt hier nicht, da [mm]5! \not=15[/mm]
> >
> >
> > > Hmm hier weiß ich irgendwie nicht wie ich das jetzt
> > > mache. Wie die vollständige Induktion funktioniert weiß
> > > ich, aber wie setze ich jetzt meine Behauptung??
> > >
> Leider komme ich hier immernoch nicht weiter :(
Die Behauptung ist:
[mm]y_n= \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{x^{2i+1}}{1*3*5*...*(2i+1)}=[/mm]
> > > Über eure Antwort würde ich mich seehr freuen.
> > >
> Liebe Grüße
>
> Britta_lernt
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 20.11.2011 | | Autor: | lola1234 |
hallo,
ich habe leider probleme mit der induktion. Wie kann ich eine summe integrieren?
gruß,
lola1234
|
|
|
| |
|
Hallo lola1234,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo,
>
> ich habe leider probleme mit der induktion. Wie kann ich
> eine summe integrieren?
>
Das Integral einer Summe von Funktionen
ist die Summe der Integrale der einzelnen Funktionen.
[mm]\integral_{}^{}\summe_{i=1}^{n}f_{i}\left(x\right)=\summe_{i=1}^{n}\integral_{}^{}f_{i}\left(x\right)[/mm],
wobei [mm]f_{i}[/mm] die von x abhängigen Funktionen sind.
> gruß,
> lola1234
Gruss
MathePower
|
|
|
|
