Picard-Iteration e-Reihe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeige, daß die Picard-Iterierten zu
[mm] y_0(t) [/mm] = 1 im Vektorfeld X : R → R, y -> y die
Partialsummen der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion sind. |
Ich habe die Taylorreihe der Exponentialfunktion rausgesucht:
[mm] \summe_ {n=0}^\infty (x^n/n!)
[/mm]
Für n gleich 0 ist ja die erste Summe 1. Genau wie der Anfang [mm] y_0(t)=1.
[/mm]
Nur weiß ich nicht, wie ich den Induktionsschritt dann machen müsste.
Weiß jemand Rat.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, daß die Picard-Iterierten zu
> [mm]y_0(t)[/mm] = 1 im Vektorfeld X : R → R, y -> y
Komisch .... Picard-Iterationen kenne ich nur im Zusammenhang mit Anfangswerproblemem
bei Differentialgleichungen. Kann es sein , dass das Anfangswertproblem
y'=y, y(0)=1
vorgelegt ist ?
> die
> Partialsummen der Taylorentwicklung der
> Exponentialfunktion sind.
> Ich habe die Taylorreihe der Exponentialfunktion
> rausgesucht:
>
> [mm]\summe_ {n=0}^\infty (x^n/n!)[/mm]
>
>
> Für n gleich 0 ist ja die erste Summe 1. Genau wie der
> Anfang [mm]y_0(t)=1.[/mm]
>
> Nur weiß ich nicht, wie ich den Induktionsschritt dann
> machen müsste.
> Weiß jemand Rat.
Wenn meine Interpretation der Aufgabe richtig ist, so lauten die Picard-Iterationen so:
[mm] y_{n+1}(t)=1+\integral_{0}^{t}{y_n(x) dx} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] y_0(t)=1
[/mm]
zeigen sollst Du dann:
[mm] y_n(t)= [/mm] $ [mm] \summe_ {k=0}^n (t^k/k!) [/mm] $ für alle n [mm] \ge [/mm] 0.
FRED
|
|
|
|
