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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo alle!
Hier noch eine Aufgabe...
Es seien [mm] t\mapsto\gamma(t)\in\IR^2 [/mm] für [mm] t\in[0,1] [/mm] eine glatte Kurve und [mm] \overline{0\gamma(t)} [/mm] die Verbindungslinie vom Ursprung zu [mm] \gamma(t). [/mm] Die Menge aller [mm] \overline{0\gamma(t)} [/mm] für [mm] t\in[0,1] [/mm] beschreibt eine zweidimensionale Fläche. Zeige, dass ihr orientierter Flächeninhalt wie folgt berechnet werden kann:
Fläche = [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{\gamma}{-ydx+xdy}.
[/mm]
In dieser Formel ist wohl noch ein Fehler, der Professor hat uns heute in der Vorlesung darauf hingewiesen, allerdings ist er bisher wohl noch nicht korrigiert worden. Er meinte, dass wohl das [mm] \pi [/mm] da falsch wäre.
Ich habe das mal für einen Kreis berechnet (ich hoffe, das geht überhaupt, ich weiß nämlich gar nicht, was eine glatte Kurve ist), und da müsste dann eigentlich als Vorfaktor [mm] \pi [/mm] stehen... Aber ich kann mich auch verrechnet haben.
So, nun verstehe ich diese Aufgabe zwar ausnahmsweise mal (hoffe ich zumindest), aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Einmal bräuchte ich ja noch eine Art Alternative, die Fläche zu berechnen oder eine Erklärung, warum es genau so geht, wie es da steht. Und zweitens weiß ich nicht, wie ich das machen soll, wo ich zwar ein [mm] \omega, [/mm] aber kein [mm] \gamma [/mm] gegeben habe.
Kann mir da vielleicht jemand einen Ansatz geben? Oder ein paar Stichworte, die mir helfen könnten?
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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Hallo Bastiane,
> Fläche = [mm]\bruch{1}{2\pi}\integral_{\gamma}{-ydx+xdy}.[/mm]
das sieht mir ganz nach der Leibnizschen Sektorformel aus.
>
> In dieser Formel ist wohl noch ein Fehler, der Professor
> hat uns heute in der Vorlesung darauf hingewiesen,
> allerdings ist er bisher wohl noch nicht korrigiert worden.
> Er meinte, dass wohl das [mm]\pi[/mm] da falsch wäre.
In der Tat der Faktor [mm]\pi[/mm] ist hier fehl am Platz.
> Ich habe das mal für einen Kreis berechnet (ich hoffe, das
> geht überhaupt, ich weiß nämlich gar nicht, was eine glatte
> Kurve ist), und da müsste dann eigentlich als Vorfaktor [mm]\pi[/mm]
> stehen... Aber ich kann mich auch verrechnet haben.
Eine glatte Kurve ist einmal stetig differenzierbar.
>
> So, nun verstehe ich diese Aufgabe zwar ausnahmsweise mal
> (hoffe ich zumindest), aber ich weiß nicht, wie ich das
> beweisen soll. Einmal bräuchte ich ja noch eine Art
> Alternative, die Fläche zu berechnen oder eine Erklärung,
> warum es genau so geht, wie es da steht. Und zweitens weiß
> ich nicht, wie ich das machen soll, wo ich zwar ein [mm]\omega,[/mm]
> aber kein [mm]\gamma[/mm] gegeben habe.
Gruß
MathePower
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Hallo Bastiane,
> So, nun verstehe ich diese Aufgabe zwar ausnahmsweise mal
> (hoffe ich zumindest), aber ich weiß nicht, wie ich das
> beweisen soll. Einmal bräuchte ich ja noch eine Art
> Alternative, die Fläche zu berechnen oder eine Erklärung,
> warum es genau so geht, wie es da steht. Und zweitens weiß
> ich nicht, wie ich das machen soll, wo ich zwar ein [mm]\omega,[/mm]
> aber kein [mm]\gamma[/mm] gegeben habe.
der alternative Weg führt wohl über die Herleitung der Leibnizschen Sektorformel.
Betrache dazu die Fläche zwischen zwei Radiusvektoren und stelle dann eine entsprechende Formel auf. Diese Formel mußt Du dann noch auf die gewuenschte Form transformieren. Und dann steht die Formel auch schon da.
Ich habe mich auch vor nicht allzulanger Zeit mit der Herleitung dieser Leibnischen Sektorformel beschäftigt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 28.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo MathePower!
Jetzt haben wir noch eine Beschreibung für die Aufgabe bekommen:
Es sei v der um neunzig Grad im Uhrzeigersinn gedrehte Geschwindigkeitsvektor [mm] \bruch{d\gamma}{dt}. [/mm] Zerlegen Sie dann [0,1) in disjunkte Intervalle [mm] [a_i,b_i) [/mm] mit i=1,...,N, für die
entweder (A): [mm] v(t)*\gamma(t)\ge [/mm] 0 für alle [mm] t\in[a_i,b_i]
[/mm]
oder (B): [mm] v(t)*\gamma(t)<0 [/mm] für alle [mm] t\in[a_i,b_i]
[/mm]
gilt.
Definieren Sie [mm] \gamma_i [/mm] als die Einschränkung von [mm] \gamma [/mm] auf das Intervall [mm] [a_i,b_i]. [/mm] Zeigen Sie, dass für alle i mit (A) das Kurvenintegral
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{\gamma_i}-ydx+xdy [/mm] (1)
gleich derjenigen Fläche ist, die durch [mm] \gamma_i [/mm] und die Segmente [mm] \overline{0\gamma(a_i)} [/mm] und [mm] \overline{0\gamma(b_i)} [/mm] eingeschlossen wird, während im Fall (B) (1) das Negative der entsprechenden Fläche ergibt. Betrachten Sie dazu das Vektorfeld [mm] F(x,y):=\vektor{x\\y} [/mm] und benutzen Sie den Satz von Gauss.
Leider kann ich damit jetzt ziemlich wenig anfangen...
Kannst du mir vielleicht doch noch mehr helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo Bastiane,
> Es sei v der um neunzig Grad im Uhrzeigersinn gedrehte
> Geschwindigkeitsvektor [mm]\bruch{d\gamma}{dt}.[/mm] Zerlegen Sie
> dann [0,1) in disjunkte Intervalle [mm][a_i,b_i)[/mm] mit i=1,...,N,
> für die
> entweder (A): [mm]v(t)*\gamma(t)\ge[/mm] 0 für alle [mm]t\in[a_i,b_i][/mm]
> oder (B): [mm]v(t)*\gamma(t)<0[/mm] für alle [mm]t\in[a_i,b_i][/mm]
> gilt.
[mm]v(t)[/mm] ist dann der Normalenvektor zu [mm]\gamma(t)[/mm]
Der Satz von Gauß läßt sich auch so schreiben:
[mm]\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {F\; \bullet \;n\left( s \right)} \;ds\; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {\nabla \; \bullet \;F\;dV\left( {x,\;y} \right)} \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {div\;F\;} dV\left( {x,\;y} \right)[/mm]
wobei
[mm]\begin{gathered}
F\; = \;\left( {f\left( {x,\;y} \right),\;g\left( {x,\;y} \right)} \right)^T \hfill \\
n\left( s \right)\; = \;\left( {\frac{{dy}}
{{ds}},\; - \frac{{dx}}
{{ds}}} \right)^T \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Der Punkt deutet das Skalarprodukt an.
> Betrachten Sie dazu das Vektorfeld [mm]F(x,y):=\vektor{x\\y}[/mm]
> und benutzen Sie den Satz von Gauss.
Von der Differentialrechung im zweidimensionalen ist bekannt, daß
[mm]\int\limits_\mathfrak{B} {dV\left( {x,\;y} \right)} \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {dx\;dy\; = \;} A[/mm]
gilt.
Demzufolge gilt, weil div F hier konstant ist:
[mm]\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {F\; \bullet \;n\left( s \right)} \;ds\; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {div\;F\;} dV\left( {x,\;y} \right)\; = \;div\;F\;\int\limits_\mathfrak{B} {dx\;dy} \; = \;\left( {div\;F} \right)\;A[/mm]
Ausrechnen, umformen und dann steht die genannte Formel da.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 28.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> > Es sei v der um neunzig Grad im Uhrzeigersinn gedrehte
> > Geschwindigkeitsvektor [mm]\bruch{d\gamma}{dt}.[/mm] Zerlegen Sie
> > dann [0,1) in disjunkte Intervalle [mm][a_i,b_i)[/mm] mit i=1,...,N,
> > für die
> > entweder (A): [mm]v(t)*\gamma(t)\ge[/mm] 0 für alle [mm]t\in[a_i,b_i][/mm]
> > oder (B): [mm]v(t)*\gamma(t)<0[/mm] für alle [mm]t\in[a_i,b_i][/mm]
> > gilt.
>
> [mm]v(t)[/mm] ist dann der Normalenvektor zu [mm]\gamma(t)[/mm]
>
> Der Satz von Gauß läßt sich auch so schreiben:
>
> [mm]\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {F\; \bullet \;n\left( s \right)} \;ds\; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {\nabla \; \bullet \;F\;dV\left( {x,\;y} \right)} \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {div\;F\;} dV\left( {x,\;y} \right)[/mm]
Sorry - leider kenne ich die Bezeichnungen nicht. Was ist das da am Anfang für ein komisches Integralzeichen? Und was meinst du mit [mm] \mathfrak{B}? [/mm] Und was ist V(x,y)?
> wobei
>
> [mm]\begin{gathered}
F\; = \;\left( {f\left( {x,\;y} \right),\;g\left( {x,\;y} \right)} \right)^T \hfill \\
n\left( s \right)\; = \;\left( {\frac{{dy}}
{{ds}},\; - \frac{{dx}}
{{ds}}} \right)^T \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Ist das das gleiche F, das man nehmen sollte? Oder ist das ein anderes?
> Der Punkt deutet das Skalarprodukt an.
>
> > Betrachten Sie dazu das Vektorfeld [mm]F(x,y):=\vektor{x\\y}[/mm]
> > und benutzen Sie den Satz von Gauss.
>
> Von der Differentialrechung im zweidimensionalen ist
> bekannt, daß
>
> [mm]\int\limits_\mathfrak{B} {dV\left( {x,\;y} \right)} \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {dx\;dy\; = \;} A[/mm]
>
> gilt.
>
> Demzufolge gilt, weil div F hier konstant ist:
>
> [mm]\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {F\; \bullet \;n\left( s \right)} \;ds\; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {div\;F\;} dV\left( {x,\;y} \right)\; = \;div\;F\;\int\limits_\mathfrak{B} {dx\;dy} \; = \;\left( {div\;F} \right)\;A[/mm]
>
> Ausrechnen, umformen und dann steht die genannte Formel
> da.
Also wenn ich weiß, was du mit den einzelnen Sachen meinst, versuche ich das mal...
Danke für die Antwort.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
> >
> > Der Satz von Gauß läßt sich auch so schreiben:
> >
> > [mm]\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {F\; \bullet \;n\left( s \right)} \;ds\; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {\nabla \; \bullet \;F\;dV\left( {x,\;y} \right)} \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {div\;F\;} dV\left( {x,\;y} \right)[/mm]
>
> Sorry - leider kenne ich die Bezeichnungen nicht. Was ist
> das da am Anfang für ein komisches Integralzeichen? Und was
> meinst du mit [mm]\mathfrak{B}?[/mm] Und was ist V(x,y)?
>
[mm]\mathfrak{B}[/mm] ist ein beschränkter abgeschlossener Bereich in [mm]\IR^{2}[/mm].
[mm]\delta \mathfrak{B}[/mm] ist dann der Rand von [mm]\mathfrak{B}[/mm].
dV(x,y) ist das Volumenelement im [mm]\IR^{2}[/mm]. Ausgeschrieben ist das dx dy, bekannt als das Flächenelement dA.
Wie habt Ihr denn den Integralsatz von Gauß aufgeschrieben?
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Fr 29.04.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
hier nun der Beweis der Leibniz'schen Sektorformel:
Für das Feld [mm]F\; = \;\left( {x,\;y} \right)^{T}[/mm] gilt:
[mm]\begin{gathered}
\nabla F\; = \;\left( {\frac{\delta }
{{\delta x}}\;x,\;\frac{\delta }
{{\delta y}}\;y} \right)^T \; = \;\left( {1,\;1} \right)^T \hfill \\
div\;F\; = \;\frac{\delta }
{{\delta x}}\;x\; + \;\frac{\delta }
{{\delta y}}\;y\; = \;2 \hfill \\
n\; = \;\left( {\frac{{dy}}
{{ds}},\; - \frac{{dx}}
{{ds}}} \right)^T \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Mit ds als Wegelement ( Bogenlänge) und n ist der äußere Normale.
Nach dem Gauß'schen Integralsatz gilt:
[mm]\begin{gathered}
\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {F\; \bullet \;n\;ds} \; = \;\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {\left( {x\;\frac{{dy}}
{{ds}}\; - \;y\;\frac{{dx}}
{{ds}}} \right)} \;ds \hfill \\
= \;\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {x\;dy\; - \;y\;dx} \; = \;\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {\omega \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {\left[ {d\; \wedge \;\omega } \right]} } \hfill \\
= \;\int\limits_\mathfrak{B} {div\;F\;\left[ {dx\; \wedge \;dy} \right]} \; = \;\int\limits_\mathfrak{B} {2\;\left[ {dx\; \wedge \;dy} \right]} \hfill \\
= \;\int\limits_\mathfrak{B} {2\;dV_2 \left( {x,\;y} \right)} \; = \;2\;\int\limits_\mathfrak{B} {dV_2 \left( {x,\;y} \right)} \; = \;2\;\int\limits_\mathfrak{B} {dx\;dy} \hfill \\
= \;2\;\int\limits_\mathfrak{B} {dA} \; = \;2\;A \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Vergleicht man hier linke und rechte Seite miteinander, so folgt:
[mm]\begin{gathered}
\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {x\;dy\; - \;y\;dx} \; = \;2\;A \hfill \\
\Rightarrow \;A\; = \;\frac{1}
{2}\;\oint\limits_{\delta \mathfrak{B}} {x\;dy\; - \;y\;dx} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
