Permutierte Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Do 15.05.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \nu:\IN\rightarrow\IN [/mm] eine bij. Abbildung und [mm] (u_{n}) [/mm] eine Folge die konvergiert mit reellen Folgengliedern und dem Grenzwert [mm] u\in\IR. [/mm] Gezeigt werden soll, dass die Folge [mm] (u_{\nu(n)}) [/mm] auch gegen u konvergiert. |
Da [mm] \nu [/mm] eine Bijektion ist, liegt die Vermutung nahe, dass die Folgebglieder einfach nur in ihrer Reihenfolge vertauscht werden. D.h.: definieren wir uns eine Menge [mm] M_{1}, [/mm] in der alle Folgenglieder aus [mm] (u_{n}) [/mm] liegen und eine Menge [mm] M_{2}, [/mm] in der alle Folgengleider aus [mm] (u_{\nu(n)}) [/mm] enthalten sind, so sind diese Mengen identisch:
[mm] M_{1}:={(u_{n})|n\in\IN} [/mm] und [mm] M_{2}:={(u_{\nu(n)})|n\in\IN}
[/mm]
Es gilt also:
[mm] \forall(k)\in\IN\exists(j)\in\IN:u_{k}=u_{\nu(j)}
[/mm]
und
[mm] \forall(j)\in\IN\exists(k)\in\IN:u_{\nu(j)}=u_{k}
[/mm]
D.h.:
[mm] u_{k}\inM_{1} \Rightarrow u_{\nu(j)}\inM_{1}
[/mm]
[mm] u_{\nu(j)}\inM_{2} \Rightarrow u_{k}\inM_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_{1}=M_{2}
[/mm]
Nun weiß man natürlich, dass das Supremum der Menge [mm] M_{1} [/mm] u ist, da dies der Grenzwert der Folge [mm] (u_{n}) [/mm] ist. Da die Mengen identisch sind, weiß ich auch, dass die Menge [mm] M_{2} [/mm] das selbe Supremum besitzt. Aber daraus kann ich ja noch nicht folgern dass u der Grenzwert für die Folge [mm] (u_{\nu(j)}) [/mm] ist oder? Ich müsste dazu, meine ich noch zeigen, dass die Folge [mm] (u_{\nu(j)}) [/mm] monoton steigend ist oder dass ich zu einem beliebigen [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] finde, sodass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt, dass [mm] |u_{\nu(j)}-u|<\epsilon [/mm] ist oder?
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?
Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
PS: Sorry, wenn da einige Textstellen nicht richtig erscheinen, mein Internet ist z.Z. sehr schwach und da erscheinen teilweise nur die Syntax nur in blau wenn ich mir die Vorschau ansehe....
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Hiho,
> Nun weiß man natürlich, dass das Supremum der Menge [mm]M_{1}[/mm] u ist
Das stimmt im allgemeinen nicht.
> weiß ich auch, dass die Menge [mm]M_{2}[/mm] das selbe Supremum besitzt.
Das wiederum stimmt.
Zeige es einfach direkt über die [mm] $\varepsilon$-Definition.
[/mm]
Sei [mm] $N_\varepsilon$ [/mm] das zugehörige N für ein [mm] \varepsilon [/mm] in der Konvergenzdefinition von [mm] $u_n$, [/mm] dann kannst du dir dein [mm] N_{\nu,\varepsilon} [/mm] daraus für [mm] u_{\nu(n)} [/mm] direkt konstruieren. Wie?
Mach dir dazu mal klar, was die [mm] $\varepsilon$-Definiton [/mm] der Konvergenz aussagt: Zu jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um den Grenzwert liegen nur endlich viele Folgenglieder ausserhalb der Umgebung.
Zeige nun dasselbe für [mm] $u_{\nu(n)}$.
[/mm]
Gruß,
Gono
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