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| Aufgabe | Sei H<G Untergruppe von G. Definiere
[mm] p^H:G \to Perm(H\setminus [/mm] G)
[mm] p^H(g)(Hx)=Hxg [/mm] fuer alle Hx [mm] \in H\setminus [/mm] G.
i) Zeige [mm] p^H [/mm] ist ein homomorphismus mit [mm] ker(p^H)=H_G
[/mm]
wobei [mm] H_G=\cap g^{-1}Hg [/mm] und g [mm] \in [/mm] G
ii) Falls [mm] [G:H]<\inf [/mm] zeige, dass folgendes einen Monomorphismus darstellt:
[mm] p:G/H_G \to S_{[G:H]} [/mm] |
zu i) habe bereits gezeigt, dass [mm] p^H [/mm] ein Homomorphismus ist. Beim Kern bin ich mir nicht ganz sicher. Ich dachte mir:
[mm] ker(p^H)= [/mm] {alle [mm] g|p^H(g)(Hx)=e}
[/mm]
={alle [mm] g|p^H(g)(Hx)=Hx}
[/mm]
={alle g|Hxg=Hx}
aber vom ersten auf das zweite Gleichheitszeichen bin ich mir nicht so sicher, also ob das neutrale wirklich wieder Hx ist. Hx ist ja eine Nebenklasse oder? Aber falls das so stimmen wuerde sehe ich leider auch noch nicht den Zusammenhang mit [mm] H_G
[/mm]
zu ii) Was genau macht diese Funktion? Bildet sie Nebenklassen auf die symmetrische Gruppe ab?
Um die injektivitaet zu zeigen nehme ich zwei Elemente aus der Bildmenge, also praktisch zwei Permutationen, die gleich sind und muss zeigen, dass auch ihre Urbilder gleich sind, also waeren das hier die Nebenklassen?
Wie gehe ich hier vor?
Wuerde mich um Ratschlaege freuen,
Euer Herzblatt
PS: Mit welchem Befehl gebe ich denn die Quantoren in diesem Forum an?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mo 17.04.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Di 18.04.2017 | | Autor: | hippias |
> Sei H<G Untergruppe von G. Definiere
> [mm]p^H:G \to Perm(H\setminus[/mm] G)
> [mm]p^H(g)(Hx)=Hxg[/mm] fuer alle Hx [mm]\in H\setminus[/mm] G.
> i) Zeige [mm]p^H[/mm] ist ein homomorphismus mit [mm]ker(p^H)=H_G[/mm]
> wobei [mm]H_G=\cap g^{-1}Hg[/mm] und g [mm]\in[/mm] G
> ii) Falls [mm][G:H]<\inf[/mm] zeige, dass folgendes einen
> Monomorphismus darstellt:
> [mm]p:G/H_G \to S_{[G:H]}[/mm]
Als Bemerkung vorneweg: Du solltest Dich an die [mm] \"üblichen [/mm] Schreibweisen halten.
> zu i) habe bereits gezeigt, dass
> [mm]p^H[/mm] ein Homomorphismus ist. Beim Kern bin ich mir nicht
> ganz sicher. Ich dachte mir:
> [mm]ker(p^H)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{alle [mm]g|p^H(g)(Hx)=e}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nein, sondern eher: $ker(p^H)=\{g\in G|p^H(g)=e\}$
> ={alle [mm]g|p^H(g)(Hx)=Hx}[/mm]
> ={alle g|Hxg=Hx}
Ja, aber was ist $x$? Woher stammt es? Gilt die Gleichung für ein bestimmtes $x$? Alle? Wenn Du das geklärt hast, dann gelingt es bestimmt zu zeigen, dass Deine Menge gleich dem Durchschnitt aus der Behauptung ist.
>
> aber vom ersten auf das zweite Gleichheitszeichen bin ich
> mir nicht so sicher, also ob das neutrale wirklich wieder
> Hx ist. Hx ist ja eine Nebenklasse oder? Aber falls das so
> stimmen wuerde sehe ich leider auch noch nicht den
> Zusammenhang mit [mm]H_G[/mm]
> zu ii) Was genau macht diese Funktion? Bildet sie
> Nebenklassen auf die symmetrische Gruppe ab?
Das ist eine gute Frage, denn ohne diese Information lässt sich die Aufgabe natürlich nicht bearbeiten. Entweder findest Du die fehlenden Informtionen heraus, oder wir überlegen uns, was sinnvollerweise gemeint sein könnte.
[mm] $\rho$ [/mm] dürfte aufgrund der Ähnlichkeit in der Bezeichnung etwas mit [mm] $\rho^{H}$ [/mm] zu tun haben; ausserdem geht es auch um Permutationen, nur, dass nicht länger Nebenklassen permutiert werden, sondern die Zahlen [mm] $1,\ldots, [/mm] n$, wobei $n$ die Anzahl der Nebenklassen ist. Wie könnte [mm] $\rho$ [/mm] definiert sein?
> Um die injektivitaet zu zeigen nehme ich zwei Elemente aus
> der Bildmenge, also praktisch zwei Permutationen, die
> gleich sind und muss zeigen, dass auch ihre Urbilder gleich
> sind, also waeren das hier die Nebenklassen?
> Wie gehe ich hier vor?
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> Wuerde mich um Ratschlaege freuen,
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> Euer Herzblatt
> PS: Mit welchem Befehl gebe ich denn die Quantoren in
> diesem Forum an?
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