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Forum "Diskrete Mathematik" - Permutationen & Binet
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Permutationen & Binet: Korrektur & Hilfe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:14 Fr 09.01.2009
Autor: Tasel

Aufgabe 1
Wie viel Permutationen der Zahlen 1, 2, 3, ..., 2n gibt es, bei denen keine ungerade Zahl auf ihrem ursprünglichen Platz steht?

Aufgabe 2
Beweise für die Fibonacci-Zahlen:

[mm] $F_{m} [/mm] = [mm] \lfloor \bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{m}+\bruch{1}{2} \rfloor$ [/mm]

Die Aufgabe 1 habe ich wie folgt gelöst:

S = # Permutationen der Zahlen 1,2,...2n, bei denen keine ungerade Zahl auf ihrem ursprünglichen Platz steht.

[mm] $\Rightarrow [/mm] |S| = (2n)!$
[mm] $\Rightarrow |A_{i}| [/mm] = (2n-1)!$
[mm] $|A_{i} \cap A_{j}| [/mm] = (2n-2)!$
[mm] $|A_{i} \cap A_{j} \cap A_{s}| [/mm] = (2n-s)!$

[mm] $D_{n} [/mm] = [mm] (2n)!-|A_{i}|+|A_{i} \cap A_{j}|-+...-|A_{i} \cap A_{j} \cap A_{s}|$ [/mm]
$= [mm] (2n)!-\summe_{s=1}^{n}|A_{i}|+\summe_{0\le i\le j\le n}^{n}|A_{i} \cap A_{j}|-+...-(-1)^{n}$ [/mm]
$= [mm] (2n)!-n(2n-1)!+\pmat{ n \\ 2 }(2n-1)!-+...-(-1)^{n}$ [/mm]
$= [mm] (2n)!+\summe_{s=1}^{n}\pmat{ n \\ 2 }(2n-s)!(-1)^{s}$ [/mm]
$= [mm] \summe_{s=0}^{n}\pmat{ n \\ 2 }(2n-s)!(-1)^{s}$ [/mm]

Für n=1,2,3 habe ich das ganze mal getestet und es scheint auch zu stimmen. Ich bin mir allerdings unsicher, wann es [mm] $(-1)^{n}$ [/mm] heißen muss und wann es [mm] $(-1)^{s}$ [/mm] heißen muss. Hoffe mir kann da einer helfen ob dies so stimmt.

Bei der Aufgabe 2 habe ich noch so meine Probleme. Die Form ähnelt der, der Binet-Form für Fibonaccizahlen. Nur wie um alles in der Welt bekomme ich aus der z.B. die Gaußklammern? Aus dem gegebenen könnte man sie mittels eines Faktors $k$ entfernen, nur was mache ich dann mit $k$? Vll. weiß auch hier einer Rat.

Auf alle Fälle schonmal ein dickes Danke!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Permutationen & Binet: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mo 12.01.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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