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| Aufgabe | Wieviele Untergruppen der Größe 3 gibt es in der symmetrischen Gruppe [mm] S_5.
[/mm]
Gibt es eine nicht-zyklische Untergruppe mit Größe 4 in [mm] S_5 [/mm] |
Hi,
für die erste Frage war es denke ich am sinnvollsten die verschiedenen Zyklen aufzuschreiben, die entscheidenden sind hier alle mit Länge 3 und dann jeweils 2 mal Länge 1. Da 3 prim ist und damit alle Untergruppen der Größe 3 zyklisch sind, ist 3 auch deren Ordnung. Finden muss ich also alle zyklischen Untergruppen mit größe 3.
So demnach sollte jede der besagten Untergruppen die Identität sowie 2 Elemente mit Ordnung 3 aufweisen. Die Anzahl an 3-Zyklen ist [mm] \vektor{5 \\ 3}*2 [/mm] . Jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe, und zwar, wieso muss ich die Anzahl der 3-Zyklen jetzt noch mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multiplizieren um auf die Anzahl der Gruppen zu kommen ? Ich kann es mir einfach nicht anschaulich klar machen. Hat es etwas damit zu tun, dass die Identität in jeder Gruppe sein muss ?
Bei der letzten Frage läuft es mMn auf probieren hinaus, geht es vielleicht auch etwas eleganter ?
lg
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Hallo
> Wieviele Untergruppen der Größe 3 gibt es in der
> symmetrischen Gruppe [mm]S_5.[/mm]
>
> Gibt es eine nicht-zyklische Untergruppe mit Größe 4 in
> [mm]S_5[/mm]
> Hi,
>
> für die erste Frage war es denke ich am sinnvollsten die
> verschiedenen Zyklen aufzuschreiben, die entscheidenden
> sind hier alle mit Länge 3 und dann jeweils 2 mal Länge
> 1. Da 3 prim ist und damit alle Untergruppen der Größe 3
> zyklisch sind, ist 3 auch deren Ordnung. Finden muss ich
> also alle zyklischen Untergruppen mit größe 3.
>
Nur so als Zwischenfrage.. hatter ihr die Sylowsätze schon?
> So demnach sollte jede der besagten Untergruppen die
> Identität sowie 2 Elemente mit Ordnung 3 aufweisen. Die
Gut, das ist richtig.
> Anzahl an 3-Zyklen ist [mm]\vektor{5 \\ 3}*2[/mm] . Jetzt kommt der
> Teil den ich nicht verstehe, und zwar, wieso muss ich die
> Anzahl der 3-Zyklen jetzt noch mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> multiplizieren um auf die Anzahl der Gruppen zu kommen ?
> Ich kann es mir einfach nicht anschaulich klar machen. Hat
> es etwas damit zu tun, dass die Identität in jeder Gruppe
> sein muss ?
Ne, mit der Identität hat es nichts zu tun. Aber du hast es ja schon selbst erwähnt! Jede Untergruppe der Ordnung 3 muss ZWEI Elemente der Ordnung 3 beinhalten.. somit, wenn du n 3er Zykel hast, dann haste n/2 Untergruppen der Ordnung 3.
>
> Bei der letzten Frage läuft es mMn auf probieren hinaus,
> geht es vielleicht auch etwas eleganter ?
Jops.. Überlege dir, was für Elemente eine solche Untergruppe beinhalten kann und überprüfe dann, von wievielen Elementen diese Untergruppen jeweils erzeugt werden.
>
> lg
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 04.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
danke für deine antwort! Hat mir weitergeholfen! Nein, wir hatten die Sylow-Sätze noch nicht.
Lg
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