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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 01.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab da so meine Probleme zwecks Vorstellungsvermögen.
Zuerst einmal Begriffserklärungen:
Ist die [mm] Signatur,sign(\pi) [/mm] = 1, so heißt [mm] \pi [/mm] gerade, andernfalls ungerade. [mm] A_{n} [/mm]
bezeichne die Menge aller geraden Permutationen.
Sei r eine Transposition, also ein 2er Zyklus der symmetrischen Gruppe [mm] S_{n} [/mm] mit n >= 2. Dann ist die Abbildung h: [mm] A_{n} [/mm] -> [mm] S_{n} [/mm] \ [mm] A_{n}, [/mm]
[mm] \pi [/mm] -> [mm] \pi [/mm] o r bijektiv.
Den Absatz kapier ich irgendwie nicht.
r sei z.b. (2,3) von der symmetrischen Gruppe
[mm] S_{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 3 & 2 & 6 & 9 & 7 & 1 & 8 & 5 }
[/mm]
Was ist dann [mm] A_{n} [/mm] ? Ich meine die Permutation ist ungerade also 0?
Oder anders gefragt : von welchen Permutationen nimmt [mm] A_{n} [/mm] seine Menge her wenn nur eine ungerade Permutation gegeben ist?
Hier wird doch in eine Faktorgruppe abgebildet. Sin die Äquivalenzklassen
die ungerade bzw. die gerade Menge?
Tja dann kommt noch was aber dazu müsste ich ja das verhergehende schon kapiert haben.
Es gibt also für n >= 2 ebensoviele gerade wie ungerade Permutationen, nämlich n!/2. Es gilt: Für n >= 2 ist [mm] A_{n} [/mm] ein Normalteiler der symmetrischen Gruppe [mm] S_{n}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Leider kann ich auf deine Überlegungen nicht genauer eingehen, da ich sie nicht verstehe.
Ich will es dir mal an einem Beispiel klarmachen.
Betrachten wir mal die symmetrische Gruppe [mm] $S_3$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\mbox{sign}\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1} [/mm] = 1$,
also:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1} \in A_3$.
[/mm]
Wenn ich diese Permutation jetzt mit irgendeiner Transposition multipliziere, etwa mit [mm] $\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}$, [/mm] dann erhalte ich:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1} \circ \pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1}$
[/mm]
und
[mm] $\mbox{sign}\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1} [/mm] = -1$,
also:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1} \in S_3 \setminus A_3$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 01.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Danke jetzt kapier ich das Ganze schon ein bißchen mehr.
Mir sind nur ein paar Begriffe noch nicht klar. Wenn du sagst du nimmst die
symmetrische Gruppe [mm] S_{3} [/mm] her dann nimmst du nur ein Element [mm] \pi
[/mm]
aus der Gruppe her, den [mm] S_{3} [/mm] besteht aus 6 Elementen oder?
Im Skript steht dass Zyklen der Länge 2 Transposition
heißen. Diese hat aber die Länge 3. Vielleicht hast du einen Schritt übersprungen sodass mir nicht ganz klar ist warum dies auch eine Transposition darstellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Richtig, ich nehme, um es an einem Beispiel zu illustrieren, eines der sechs Elemente von [mm] $S_3$.
[/mm]
In Zykelschreibweise sieht die Transposition [mm] $\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}$ [/mm] so aus: $(1 \ 2)$ und entspricht damit der Definition aus deinem Skript.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 01.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo danke für die Antwort.
Warum dann [mm] A_{n} [/mm] ein Normalteiler von [mm] S_{n} [/mm] ist weißt du nicht zufällig?
Ich hab mir das mal so überlegt:
Das Normalteilerkriterium besagt ja:
[mm] \forall [/mm] g [mm] \in A_{n} \forall [/mm] k [mm] \in S_{n} [/mm] : g o k o [mm] g^{-1} \in S_{n}
[/mm]
Und da ja wie du vorher gezeigt hast g o [mm] g^{-1} [/mm] = id ist und k o id = k in [mm] S_{n} [/mm] ist würde das Kriterium ein Normalteiler zu sein erfüllt sein. Aber warum gerade für n >= 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Hexe |
also beweis zu [mm] A_n [/mm] nt von [mm] S_n [/mm] sei [mm] a\in A_n [/mm] dann ist sgn a=1 sei nun [mm] g\in S_n [/mm]
1. Fall sgn g=1 dann ist [mm] gag^{-1} [/mm] sowiso wieder in [mm] A_n
[/mm]
2. Fall sgn g=-1 dann ist sgn ga=-1 und sgn [mm] gag^{-1}=1 [/mm] (minus mal minus=plus gilt auch beim signum!) also ist [mm] gag^{-1 } \in A_n [/mm] => [mm] A_n [/mm] Normalteiler
Das mit dem [mm] n\ge [/mm] 2 hat einfach den Grund das man eine indexmenge mit einem Element nicht permutieren kann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die Antwort.
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