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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 So 01.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo bin grade beim Thema Permutationen und hab da ein paar Fragen:
1.Frage:
Zyklen der Länge 2 nennt man Transpositionen. Ist r = [mm] (i_{1},i_{2}) [/mm] eine
Transposition, so gilt [mm] r^{-1} [/mm] = t, also r o r = id.
Was ich mich jetzt frag was [mm] r^{-1} [/mm] = t bedeutet zumahl wir ja t vorher nie erwänd haben. Also eine Transposition wäre z.b.: [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 2 }
[/mm]
Wenn ich die jetzt invertiere kommen Bruchkommazahlen heraus, was es wohl
nicht ganz sein kann...
2.Frage:
Für [mm] \pi \in S_{n} [/mm] ist [mm] sign(\pi [/mm] ) = [mm] \produkt_{1 <= i < j <= n} \bruch{\pi(j) - \pi(i)}{j-i}
[/mm]
Ich weiß dass das direkte Produkt darstellt kann aber irgendwie trotzdem nicht mit der Formel umgehen.
Wie rechnet man sich beispielsweise füt [mm] \pi [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 } [/mm] die Signatur mithilfe der obigen gennanten Formel aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
> 1.Frage:
> Zyklen der Länge 2 nennt man Transpositionen. Ist r =
> [mm](i_{1},i_{2})[/mm] eine
> Transposition, so gilt [mm]r^{-1}[/mm] = t, also r o r = id.
> Was ich mich jetzt frag was [mm]r^{-1}[/mm] = t bedeutet zumahl wir
> ja t vorher nie erwänd haben.
Es handelt sich um einen Druck-/Schreibfehler. Richtig muss es [mm] $r^{-1}=r$ [/mm] heißen, denn es gilt ja $r [mm] \circ [/mm] r=id$.
> Also eine Transposition wäre
> z.b.: [mm]\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 2 }[/mm]
> Wenn ich die jetzt
> invertiere kommen Bruchkommazahlen heraus, was es wohl
> nicht ganz sein kann...
Wieso Bruchkommazahlen??? Gesucht ist eine Transposition $t$ mit
$t [mm] \circ \pmat{2 & 3 \\3 & 2} [/mm] = id$.
Und man sieht leicht ein, dass dann $t= [mm] \pmat{2 & 3 \\ 3 & 2}$ [/mm] gelten muss. (Denn wenn die $2$ zuerst auf die $3$ geht, dann muss danach, wenn insgesamt die $2$ auf die $2$ gehen soll, die $3$ auf die $2$ gehen. Und wenn die $3$ zuerst auf die $2$ geht, dann muss danach, wenn insgesamt die $3$ auf die $3$ gehen soll, die $2$ auf die $3$ gehen.)
> 2.Frage:
> Für [mm]\pi \in S_{n}[/mm] ist [mm]sign(\pi[/mm] ) = [mm]\produkt_{1 <= i < j <= n} \bruch{\pi(j) - \pi(i)}{j-i}[/mm]
>
> Ich weiß dass das direkte Produkt darstellt kann aber
> irgendwie trotzdem nicht mit der Formel umgehen.
> Wie rechnet man sich beispielsweise füt [mm]\pi[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 }[/mm]
> die Signatur mithilfe der obigen gennanten Formel aus?
Nur einsetzen (beachte [mm] $\pi(1)=1$, $\pi(2)=3$, $\pi(3)=2$ [/mm] und $1<2$, $1<3$ und $2<3$):
[mm] $\mbox{sign}(\pi) [/mm] = [mm] \frac{2-3}{3-2} \cdot \frac{2-1}{3-1} \cdot \frac{3-1}{2-1} [/mm] = -1$.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 01.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die Antwort. Übrigens hast du einen kleinen Tippfehler bei der
Signaturformel. Beim ersten Multiplikator gehört anstatt 2-3/3-1 .. 2-3/3-2.
Aber ansonsten kenn ich mich jetzt aus...danke!
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