Permutation, Zykel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:36 Fr 16.11.2007 | | Autor: | chocolate |
Hallo alle miteinander!
Ich habe eine Aufgabe zu bearbeiten und auch einen Ansatz, weiß aber nicht genau, ob der so stimmt. Kann mir vielleicht jemand dabei weiterhelfen?
Die Aufgabe:
a) Für n [mm] \ge [/mm] 2 sei der Zykel
[mm] \varphi [/mm] = (1,2,...,n) [mm] \in S_n
[/mm]
Bestimmen Sie alle Permutationen [mm] \gamma \in S_n, [/mm] welche mit [mm] \varphi [/mm] kommutieren, d.h. für die gilt
[mm] \varphi [/mm] * [mm] \gamma [/mm] = [mm] \gamma [/mm] * [mm] \varphi
[/mm]
b) Es sei s [mm] \in [/mm] S_10 die Permutation u * v, wobei
u = (1,2,3,4,5) und v = (6,7,8,9,10)
Bestimmen Sie die Permutationen [mm] \gamma \in S_n, [/mm] welche mit s kommutieren, d.h. [mm] \gamma [/mm] * s = s * [mm] \gamma. [/mm] (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass diese Elemente zusammengenommen eine Gruppe in der S_10 ergeben und benutzen Sie Teil a) ).
Ich habe mir nun zu a) überlegt, dass [mm] \gamma [/mm] und [mm] \varphi [/mm] disjunkt sein müssen, da disjunkte Zyklen miteinander kommutieren. Mein Problem bei der Sache ist aber, dass [mm] \gamma \in S_n [/mm] sein soll und wenn [mm] \gamma [/mm] und [mm] \varphi [/mm] disjunkt sind, wäre [mm] \gamma [/mm] ein Zykel der Art (n+1, n+2,...). Das wäre dann ja nicht mehr ein Element von [mm] S_n. [/mm] Der Ansatz ist also falsch, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Kreide |
zu a) du musst die [mm] \varphi [/mm] herausfinden, damit die Gleichung erfüllt ist, oder?
aber wie man da ran geht ist ne gute frage ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte | | Datum: | 13:34 So 18.11.2007 | | Autor: | Kreide |
ich selber muss diese Aufgabe auch lösen....
in der a) wird ja von mir verlangt, dass ich ALLE [mm] \gamma [/mm] finden soll, für die
> [mm]\varphi[/mm] * [mm]\gamma[/mm] = [mm]\gamma[/mm] * [mm]\varphi[/mm]
Kann mir mal jemand nur ein [mm] \gamma [/mm] nennen, die die Gleichung erfüllt,
ich bin mir mit diesen Zykeln immer noch etwas unsicher.... und das der eine Zykel dann noch bis n läuft.... :(
(1,2,...n)(1, 2
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:38 So 18.11.2007 | | Autor: | ahorn |
| Aufgabe | ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das ist eine Aufgabe von "chocolate".... die aufgabe würde schon als "überfällig" versehen, mich interessiert die Aufgabe dennoch..
>
> a) Für n [mm]\ge[/mm] 2 sei der Zykel
>
> [mm]\varphi[/mm] = (1,2,...,n) [mm]\in S_n[/mm]
>
> Bestimmen Sie alle Permutationen [mm]\gamma \in S_n,[/mm] welche mit
> [mm]\varphi[/mm] kommutieren, d.h. für die gilt
>
> [mm]\varphi[/mm] * [mm]\gamma[/mm] = [mm]\gamma[/mm] * [mm]\varphi[/mm]
>
> b) Es sei s [mm]\in[/mm] S_10 die Permutation u * v, wobei
>
> u = (1,2,3,4,5) und v = (6,7,8,9,10)
>
> Bestimmen Sie die Permutationen [mm]\gamma \in S_n,[/mm] welche mit
> s kommutieren, d.h. [mm]\gamma[/mm] * s = s * [mm]\gamma.[/mm] (Hinweis:
> Zeigen Sie zunächst, dass diese Elemente zusammengenommen
> eine Gruppe in der S_10 ergeben und benutzen Sie Teil a) ).
>
> Ich habe mir nun zu a) überlegt, dass [mm]\gamma[/mm] und [mm]\varphi[/mm]
> disjunkt sein müssen, da disjunkte Zyklen miteinander
> kommutieren. Mein Problem bei der Sache ist aber, dass
> [mm]\gamma \in S_n[/mm] sein soll und wenn [mm]\gamma[/mm] und [mm]\varphi[/mm]
> disjunkt sind, wäre [mm]\gamma[/mm] ein Zykel der Art (n+1,
> n+2,...). Das wäre dann ja nicht mehr ein Element von [mm]S_n.[/mm]
> Der Ansatz ist also falsch, oder?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
Hallo, hab einpaar probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß wonach ich suchen soll, weiß aber nicht wie. Kann jemand mal vielleicht ein beispiel für nur ein [mm] \gamma [/mm] geben wie das aussehen würde. Falls es nur einen geben sollte kann mir jm einen tipp geben wie man die aufgabe angeht?
[mm] \gamma [/mm] und [mm] \varphi [/mm] müssten dann ja jeweils voneinander verschiedene natürlcihe zahlen besitzen, denn
(1,2)(2,1)=(1)(2) man gekommt also zwei zykel die kleiner sind als die Ausgangszykel
(1,2)(3,4)=(1,2)(3,4) habe ich das richtig gerechnet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 21.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 19.11.2007 | | Autor: | bonni |
hallo,
meine aufgabe ist:
für n [mm] \ge [/mm] 2 sei der zykel [mm] \pi= [/mm] (1,2,...,n) [mm] \in S_n
[/mm]
bestimmen sie alle permutationen [mm] \gamma \in S_n [/mm] welche mit [mm] \pi [/mm] kommuntieren, d.h. für die gilt:
[mm] \gamma \circ \pi [/mm] = [mm] \pi \circ \gamma [/mm]
ich habe schon ein paar permutationen gefunden, jedoch weiß ich nicht ob das alle sind, bzw ob diese richtig sind...
1.)Der Inverse Zykel
[mm] (1,2,3,...,n)\circ(n,...,3,2,1)=(n,...,3,2,1)\circ(1,2,3,...,n)
[/mm]
2.)Der zykel mit sich selbst
[mm] (1,2,3,...,n)\circ(1,2,3,...,n)=(1,2,3,...,n)\circ(1,2,3,...,n)
[/mm]
3.) und dann müsste es ja noch den zykel [mm] id_n [/mm] geben, also den identischen, der nichts verändert...doch wie bilde ich den?
waren das jetzt alle möglichen permutationen? oder habe ich welche vergessen...??
danke und grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Bonni,
die Zykel, die Du gefunden hast, sind mit [mm](1,2,\ldots, n)[/mm] vertauschbar; aber das sind noch nicht alle.
Wie sieht es mit Potenzen von [mm](1,2,\ldots,n)[/mm] aus?
Hattest Du schon mal einen Satz oder Aufgabe über ein Erzeugendensystem von [mm] S_n?
[/mm]
Ist z.B. (1,2) mit [mm](1,2,\ldots,n)[/mm] vertauschbar? Es geht ja auch darum, zu zeigen, daß es außer denen, die Du gefunden hast, keine weiteren gibt.
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 19.11.2007 | | Autor: | bonni |
> hallo und danke für die hilfe!!!
aber leider verstehe ich nicht was du damit meinst? ich hab jetzt versucht alles nachzuschlagen...bring mir leider auch nichts... :-(
Wie sieht es mit Potenzen von [mm](1,2,\ldots,n)[/mm] aus?
was sind denn potenzen von [mm](1,2,\ldots,n)[/mm] ? kann mir das jemand erklären?
> Hattest Du schon mal einen Satz oder Aufgabe über ein
> Erzeugendensystem von [mm]S_n?[/mm]
ne hatte ich leider nicht...
> Ist z.B. (1,2) mit [mm](1,2,\ldots,n)[/mm] vertauschbar? Es geht ja
> auch darum, zu zeigen, daß es außer denen, die Du gefunden
> hast, keine weiteren gibt.
das verstehe ich leider auch nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo bonni,
>
> > hallo und danke für die hilfe!!!
>
> aber leider verstehe ich nicht was du damit meinst? ich hab
> jetzt versucht alles nachzuschlagen...bring mir leider auch
> nichts... :-(
>
> Wie sieht es mit Potenzen von [mm](1,2,\ldots,n)[/mm] aus?
>
> was sind denn potenzen von [mm](1,2,\ldots,n)[/mm] ? kann mir das
> jemand erklären?
Mit "Potenzen" meine ich das mehrfache hintereinanderausführen ein und derselben Permutation. Ist also [mm]\gamma:=(1,2,3,4, \ldots,n)[/mm], dann sind doch auch [mm]\gamma \circ \gamma, \gamma \circ \gamma \circ \gamma [/mm] usw. mit [mm]\gamma[/mm] vertauschbar, gäll?
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
|
