Periodizität untersuchen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Periodizität und Beschränktheit! Geben Sie
ggf. die kleinste Periodenlänge sowie den kleinsten und größten Funktionswert an:
f(x)= [mm] \bruch{5}{6} [/mm] sin(7x+8) |
Wie untersucht man eine Funktion auf Periodizität?
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Hallo Marko!
Die "normale" Sinusfunktion [mm] $\sin(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(1*x)$ [/mm] hat die Periode [mm] $2*\pi$ [/mm] .
Von daher ergibt sich für [mm] $\sin(a*x)$ [/mm] entsprechend die Periode [mm] $\bruch{2*\pi}{a}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Danke für die schnelle Antwort.
Da die Aufgabe aber lautet: "Untersuchen Sie...." gehe ich davon aus das es nicht reicht wenn ich einfach nur die Periode hinschreibe.
Wie untersucht man denn nun eine Funktion auf Peridizität?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Mo 21.01.2008 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
wenn du meinst, dass das bloße Auffinden der Periode ungenügend ist, könntest du zeigen, dass die Annahme der Periode von [mm] \bruch{2\pi}{a} [/mm] auch wirklich gilt.
Hierzu wäre zu zeigen:
[mm] f(x)=f(x+n\bruch{2\pi}{7}) ,n\in \IN
[/mm]
Dies sollte durch einige wenige Umformungen (und dann per Induktion) möglich sein.
Generell würde ich allerdings roadrunner zustimmen: Ein Sinus ist eine periodische Funktion; nur weil ich das Argument verändere, ändern sich nicht grundlegende Eigenschaften, nur halt die Länge der Periode (bzw. es kommt halt noch eine Phasenverschiebung hinzu). Ein Beweis würde ich in der Schule nicht als unnotwendig ansehen.
Schöne Grüße
Tobbi
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Und was ist mit [mm] e^{x+sinx} [/mm] und [mm] \bruch{1}{4+sinx}? [/mm] Diese Funktionen sind nicht periodisch wennn ich sie mir so anschau.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mo 21.01.2008 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
nein natürlich sind die von dir angegeben Funktionen nicht periodisch, aber auch keine "elementaren" Sinus-Funktionen. Ich sprach in meiner Antwort davon das Argument einer Funktion (das in der Klammer) zu verändern. Nicht eine beliebige Funktion durch einen Sinus zu ergänzen!
Schöne Grüße
Tobbi
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Ich sehe die ganze Sache schon ein, nur wie zeige ich bei [mm] e^{x+sinx} [/mm] das sie nicht periodisch ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mo 21.01.2008 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
nun ja, erstmal anschaulich:
Im Wesentlichen ist deine Funktion eine e-Funktion, die ist schonmal nicht periodisch! Sicherlich enthält das Argument einen periodische Teilterm (den Sinus) ist selbst aber durch die Linearkombination auch nicht wirklich eine periodische Funktion, anschaulich gesprochen "schwingt das Argument halt um eine Gerade mit der Steigung "1""
Nun zur eigentliche Mathematik:
Wesen einer periodischen Funktion ist es, dass gelten muss:
[mm] f(x)=f(x+n\*p) [/mm] wobei p die Periode bezeichne und [mm] n\in\IN
[/mm]
Wie man zeigen kann, findet sich für [mm] f(x)=e^{x+sin(x)} [/mm] kein solches p, dass obige Bedingung erfüllt. Somit ist ist f(x) auch nicht periodisch.
Der Beweis ist da eher etwas komplizierter (müsste wohl über Umformung des Sinus in komplexwertige e-Funktion und dann weiter laufen).
Wenn ich mich recht errinnere, haben wir (in der Schule) eigentlich nur einfache Linearkombinationen von trigonometrischen Funktionen untersucht, oft sogar nur Funktionen in der Form, wie sie dir gegeben war. Hier kannst du mit dem Ansatz von roadrunner immer dein Ziel erreichen.
schöne Grüße
Tobbi
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