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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen innerhalb einer Periodenlänge. Welche Periode hat die angegebene Funktion?
Bestimmen Sie damit die kleinste positive Lösung der jeweiligen Gleichung.
sin(2x - [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo,
Die Aufgabenstellung verwirrt mich ein bisschen.
Wie man die primitive Periode einer Funktion bestimmt weiß ich.
Nur wie gehe ich bei dieser Aufgabe zunächst vor und was mache ich mit dem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auf der anderen Seite?
Gruß
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Hallo,
> Nur wie gehe ich bei dieser Aufgabe zunächst vor und was
> mache ich mit dem [mm]\bruch{1}{2}[/mm] auf der anderen Seite?
nun, es ist eine Gleichung, da musst du sie wohl oder übel akzeptieren. 
Die primitive Periode der linken Seite ist dir bekannt, dann brauchen wir darüber nicht mehr sprechen. Es gilt einfach, die Gleichung mit Hilfe der Arkussinusfunktion bzw. in diesem Fall mit etwas elementargeometrischen Kenntnissen (sin30°=0.5!) aufzulösen:
[mm] sin\left(2x-\bruch{\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2} \gdw
[/mm]
[mm] 2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{\pi}{6}+k*\pi \vee 2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}+k*\pi [/mm] ; [mm] k\in\IZ
[/mm]
Jetzt musst du vollends auflösen und entscheiden, für welche k die Lösungen innerhalb der primitiven Periode liegen. Das ist zwar ziemlich einfach, und der eine oder andere wird sagen, das mit dem k brauche man hier nicht. Derjenige wird Recht haben, ich habe es dir dennoch so aufgeschrieben: denn sobald du eine andere Grundmenge als die Primitivperiode hast, wirst du diese Methode benötigen.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > Nur wie gehe ich bei dieser Aufgabe zunächst vor und was
> > mache ich mit dem [mm]\bruch{1}{2}[/mm] auf der anderen Seite?
>
> nun, es ist eine Gleichung, da musst du sie wohl oder übel
> akzeptieren.
>
> Die primitive Periode der linken Seite ist dir bekannt,
> dann brauchen wir darüber nicht mehr sprechen. Es gilt
> einfach, die Gleichung mit Hilfe der Arkussinusfunktion
> bzw. in diesem Fall mit etwas elementargeometrischen
> Kenntnissen (sin30°=0.5!) aufzulösen:
>
> [mm]sin\left(2x-\bruch{\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2} \gdw[/mm]
>
> [mm]2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{\pi}{6}+k*\pi \vee 2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}+k*\pi[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> ; [mm]k\in\IZ[/mm]
> Jetzt musst du vollends auflösen und entscheiden, für
> welche k die Lösungen innerhalb der primitiven Periode
> liegen. Das ist zwar ziemlich einfach, und der eine oder
> andere wird sagen, das mit dem k brauche man hier nicht.
> Derjenige wird Recht haben, ich habe es dir dennoch so
> aufgeschrieben: denn sobald du eine andere Grundmenge als
> die Primitivperiode hast, wirst du diese Methode
> benötigen.
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant,
in der markierten Zeile hast du dich möglicherweise von der
Primitivperiode der Funktion [mm] sin\left(2x-\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] etwas irritieren lassen.
Die Sinusfunktion ist nach wie vor 2π-periodisch, also müsste
es heißen:
[mm]2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{\pi}{6}+\blue{2*}k*\pi\quad \vee\quad 2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}+\blue{2*}k*\pi[/mm] ; [mm]k\in\IZ[/mm]
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al-Chwarizmi,
> in der markierten Zeile hast du dich möglicherweise von
> der
> Primitivperiode der Funktion
> [mm]sin\left(2x-\bruch{\pi}{3}\right)[/mm] etwas irritieren lassen.
> Die Sinusfunktion ist nach wie vor 2π-periodisch, also
> müsste
> es heißen:
>
> [mm]2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{\pi}{6}+\blue{2*}k*\pi\quad \vee\quad 2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}+\blue{2*}k*\pi[/mm]
> ; [mm]k\in\IZ[/mm]
>
> LG Al
>
das stimmt natürlich: vielen Dank fürs Drübersehen und korrigieren!
Gruß, Diophant
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Ich habe das mit der primitiven Periode auf der linken Seite wohl doch nicht verstanden, da man das in den Beispielen in Büchern immer ablesen konnte wie schnell eine Funktion durchlaufen wird. Wenn ich die Terme hier einzeln betrachte dann könnte ich garnicht sagen 2x --> Sinus wird doppelt so schnell durchlaufen p = [mm] \pi
[/mm]
Und was ich beim nächsten Term machen soll, weiß ich auch nicht, weil da ein pi im Zähler steht.
Ich bräuchte dann doch ein vollständiges Beispiel und in Büchern habe ich dazu noch nichts gefunden.
Ich hoffe ihr könnt mir noch helfen!
Gruß
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> Ich habe das mit der primitiven Periode auf der linken
> Seite wohl doch nicht verstanden, da man das in den
> Beispielen in Büchern immer ablesen konnte wie schnell
> eine Funktion durchlaufen wird. Wenn ich die Terme hier
> einzeln betrachte dann könnte ich garnicht sagen 2x -->
> Sinus wird doppelt so schnell durchlaufen p = [mm]\pi[/mm]
> Und was ich beim nächsten Term machen soll, weiß ich
> auch nicht, weil da ein pi im Zähler steht.
> Ich bräuchte dann doch ein vollständiges Beispiel und in
> Büchern habe ich dazu noch nichts gefunden.
> Ich hoffe ihr könnt mir noch helfen!
>
> Gruß
Hallo sahnepudding, [schmatz...]
hast du denn den Weg bis zur Zeile
$ [mm] 2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{\pi}{6}+2\cdot{}k\cdot{}\pi\quad \vee\quad 2x-\bruch{\pi}{3}=\bruch{5\pi}{6}+2\cdot{}k\cdot{}\pi [/mm] $
soweit verstanden ?
Dann kannst du bei den beiden Gleichungen jeweils beidseitig
[mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] addieren und dann alles durch 2 teilen.
Damit hast du die sämtlichen möglichen Lösungen explizit
dargestellt, und auch die Periodizität (Periodenlänge [mm] \pi) [/mm] ist
an den entstandenen Gleichungen abzulesen.
LG Al-Chw.
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Nein, das habe ich leider noch nicht verstanden.
Soll k meine Periodenlänge sein? Wenn ja, wie komme ich dann auf
[mm] \bruch{/pi}{6} [/mm] ?
Eine kleine Anleitung in Stichpunkten könnte mir schon genügen, weil ich gerade nicht weiß, was ich hier überhaupt verfolgen soll
Grüße
Sahnepudding
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> Nein, das habe ich leider noch nicht verstanden.
> Soll k meine Periodenlänge sein? Wenn ja, wie komme ich
> dann auf
> [mm]\bruch{/pi}{6}[/mm] ?
>
> Eine kleine Anleitung in Stichpunkten könnte mir schon
> genügen, weil ich gerade nicht weiß, was ich hier
> überhaupt verfolgen soll
>
> Grüße
>
> Sahnepudding
Deine ursprüngliche Gleichung war ja:
sin(2x - $ [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
oder korrekt beklammert:
$\ [mm] sin\,\left(2\,x - \bruch{\pi}{3}\right)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
zunächst also mal
$\ [mm] sin\,\left(dingsbums\right)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
Nun gibt es im Grundintervall [0°..360°] nur genau zwei
Winkel mit dem Sinuswert [mm] \frac{1}{2} [/mm] , nämlich 30° und 150° (klar ?).
Im Bogenmaß ausgedrückt: Die beiden Lösungen im
Grundintervall [0 ... [mm] 2\,\pi\,] [/mm] sind
$\ dingsbums\ =\ [mm] \frac{\pi}{6}$ [/mm] ; $\ dingsbums\ =\ [mm] \frac{5\,\pi}{6}$
[/mm]
Die Lösungen außerhalb des Grundintervalls erhält man,
indem man jeweils ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] 2\,\pi
[/mm]
addiert. Alle (unendlich vielen) Lösungen lassen sich also
so ausdrücken:
$\ dingsbums\ =\ [mm] \frac{\pi}{6}+k*(2\,\pi)\quad oder\quad [/mm] \ dingsbums\ =\ [mm] \frac{5\,\pi}{6}+k*(2\,\pi)$ [/mm]
Dabei steht k für einen beliebig zu wählenden ganzzahligen
Faktor, also [mm] k\in\IZ [/mm] .
Nun verfolgt man diese beiden Möglichkeiten weiter, um
nach x aufzulösen.
LG Al-Chw.
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Okay Vielen Dank erstmal, das war jetzt wirklich hilfreich!
Eine Frage noch: Brauche ich die Lösungen außerhalb meines Grundintervalls für die Aufgabe überhaupt noch?
Gruß
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> Okay Vielen Dank erstmal, das war jetzt wirklich
> hilfreich!
>
> Eine Frage noch: Brauche ich die Lösungen außerhalb
> meines Grundintervalls für die Aufgabe überhaupt noch?
Nein. In der Aufgabe stand ja:
"Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden
Gleichungen innerhalb einer Periodenlänge."
An dem Lösungsweg war aber ja interessant, dass dabei
mit hervorgeht, welches die Periodenlänge ist. Es steht
dann ja da:
$x\ =\ [mm] (Grundl\ddot{o}sung)\,+\ k*\pi\qquad(k\in\IZ)$
[/mm]
Also muss [mm] \pi [/mm] die Periodenlänge sein.
LG Al-Chw.
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