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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:35 Mi 14.12.2016 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hat das Pendel ohne Reibung, also die Gleichung
[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\sin\varphi(t)$, $\varphi\in [0,2\pi)$ [/mm] (P)
sogenannte relative Equilibria? |
Hallo und guten Abend, zunächstmal ist zu bemerken, dass ich so normiert habe, dass in der Gleichung für das reibungslose Pendel, also
[mm] $\ddot{\varphi}(t)=-\frac{g}{\ell}\sin\varphi(t)$, [/mm] der konstante Faktor 1 ist.
Dann zur eigentlichen Frage:
Meines Wissens ist ein relatives Equilibrium in einem Hamiltonsystem mit Symmetriegruppen ein Orbit der Symmetrygruppe, der sich unter der Dynamik nicht verändert: ![[]](/images/popup.gif) Relative Equilibrium
Beim Pendel ohne Reibung gibt es doch zwei Symmetriegruppen:
(1) [mm] $\varphi\mapsto 2\pi k\varphi, k\in\mathbb{Z}$
[/mm]
(2) [mm] $\varphi\mapsto -\varphi$
[/mm]
Wenn man sich die Orbits von (1) und (2) anschaut, die sich unter der Dynamik nicht verändern, bleiben doch eigentlich nur die beiden Orbits
[mm] $\mathcal{O}_1=\left\{(0+2\pi*k,0): k\in\mathbb{Z}\right\}$
[/mm]
sowie
[mm] $\mathcal{O}_2=\left\{(\pi+2\pi k,0): k\in\mathbb{Z}\right\}$
[/mm]
übrig, oder?
Dementsprechend würde ich mal behaupten, dass [mm] $\mathcal{O}_1$ [/mm] und [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] die einzigen relativen Equilibria des zu (P) gehörigen 2D-Systems sind?
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Fr 16.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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