Partition, Abbildung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe:
Sei f : X -> Y eine Abbildung. Man zeige, dass {f^-1 ({y}) | y [mm] \in [/mm] Y} eine Partition von X ist.
Ich weiß also, dass M(X) = {y} ist und P= f^-1 (x) gilt.
Ebenso ist mit bewusst, dass die Partition aus einer Teilmenge von M entsteht, wenn
- die Vereinigung von P ganz M ist
- P eine diskunkte Mengenfamilie ist
- leere Menge nicht Element der Partition
Doch wie soll ich z.B. die Vereinigung von P mit M beweisen. Um irgendwas Äquivalentes aufzustellen, fehlt es mir meiner Ansicht nach an Teilen.
Oder kann mann sagen: f^-1 (x) = {y} ?
Viele Grüße
Mathe-Azubi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, so geht es nicht. Ich mache es mal vor:
1. Behauptung: [mm] $\bigcup\limits_{y \in Y} f^{-1}(\{y\}) [/mm] = X$.
Beweis: [mm] "$\subset$" [/mm] ist trivial. Sei nun $x [mm] \in [/mm] Y$, dann gilt: $x [mm] \in f^{-1}(\{f(x)\}) \subset \bigcup\limits_{y \in Y} f^{-1}(\{y\})$.
[/mm]
2. Behauptung: Für $y [mm] \ne [/mm] y'$ gilt: [mm] $f^{-1}(\{y\}) \cap f^{-1}(\{y'\}) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Beweis: Wäre $x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \cap f^{-1}(\{y'\})$, [/mm] dann wäre $y=f(x)=y'$, Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
