Partielle Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Bilmem |
Halli Hallo Hallöchen..
Ich habe schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
[mm] \integral cos^2(x) [/mm] = [mm] \integral [/mm] cosx * cosx
so die allgemeine formel für die partielle Integration lautet ja:
[mm] \integral [/mm] f(x) dx = u(x)+v(x) - [mm] \integral [/mm] u'(x) * v(x) dx
daraus folgt dass
u= cos(x)
v=cos(x)
u'=-sinx
v=cosx
-->somit folgt
F(x)= [mm] cos^2 [/mm] x - (-sinx*cosx)+C
F(x)= cos^2x + sin x*cosx+C
wäre das soweit richitg?? wolfram alpha liefert nämlich statt [mm] cos^2 [/mm] -> [mm] sin^2
[/mm]
jetzt soll man das sin2 x = 1 − cos2 x anwenden und nach dem Ausgangsintegral auflösen
??? ich versteh jedoch nicht wirklich was ich da anstellen soll.. kann mir da jmd helfen?
|
|
| |
|
Moin bilmem,
> Halli Hallo Hallöchen..
>
> Ich habe schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
>
> [mm]\integral cos^2(x)[/mm] = [mm]\integral[/mm] cosx * cosx
>
> so die allgemeine formel für die partielle Integration
> lautet ja:
>
> [mm]\integral[/mm] u(x)v'(x) dx = [mm] u(x)\red{*}v(x) [/mm] - [mm]\integral[/mm] u'(x) * v(x) dx
>
> daraus folgt dass
>
> u= cos(x)
> [mm] v\red{'}=cos(x)
[/mm]
>
> u'=-sinx
> [mm] v=\red{sin(x)}
[/mm]
Hier liegt der entscheidende Fehler.
>
> -->somit folgt
>
> F(x)= [mm]cos^2[/mm] x - (-sinx*cosx)+C
> F(x)= cos^2x + sin x*cosx+C
>
> wäre das soweit richitg?? wolfram alpha liefert nämlich
> statt [mm]cos^2[/mm] -> [mm]sin^2[/mm]
>
> jetzt soll man das [mm] sin^2 [/mm] x = 1 − [mm] cos^2 [/mm] x anwenden und nach
> dem Ausgangsintegral auflösen
>
>
> ??? ich versteh jedoch nicht wirklich was ich da anstellen
> soll.. kann mir da jmd helfen?
Das geht dann, nach der P.I. steht da:
[mm] $\integral cos^2(x) [/mm] dx = cos(x)sin(x) - [mm] \integral [/mm] -sin(x)sin(x)dx $
>
>
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Bilmem |
hää warum lautet die allgemeine formel dann nicht u' * v'
also wäre F(x) = [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] \integral [/mm] (-sinx * sin x) dx
= [mm] cos^2 [/mm] + [mm] sin^2 [/mm]
so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hää warum lautet die allgemeine formel dann nicht u' * v'
die Frage macht keinen Sinn, da unklar ist, was Du unter allgemeiner Formel verstehst. Und $u' * [mm] v'\,$ [/mm] ist nur ein Term, keine Formel.
> also wäre F(x) = [mm]cos^2(x)[/mm] - [mm]\integral[/mm] (-sinx * sin x) dx
>
> = [mm]cos^2[/mm] + [mm]sin^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> so richtig?
Kapiere ich nicht. Richtig wäre wegen
$$\int u' v=uv -\int uv'$$
mit $u(x)=\sin(x)$ (als eine Stammfunktion von $u'(x)=\cos(x)$) und $v(x)=\cos(x)$ dann
$$(\star)\;\;\; \blue{\integral \cos^2(x) dx} = \sin(x)\cos(x) - \integral \sin(x)*(-\sin(x))dx=\sin(x)\cos(x)+\int \sin^2(x)dx\blue{=\sin(x)\cos(x)+\int(1-\cos^2(x))dx}\,.$$
Benutzt man nun noch $\int(1-\cos^2(x))dx=\int 1dx - \int \cos^2(x)dx=x-\int \cos^2(x)dx\,,$ so ergibt sich
$$\blue{\int \cos^2(x)dx}=\sin(x)\cos(x)+x-\int \cos^2(x)dx}\,,$$
In der letzten Gleichung auf beiden Seiten $\int \cos^2(x)dx$ addieren und anschließend durch $2\,$ teilen liefert sodann
$$\int \cos^2(x)dx=\frac{x+\sin(x)\cos(x)}{2}$$
(evtl., je nach Eurer Definition des unbestimmten Integrals, plus eine additive Konstante (=konstante Funktion)).
Ein alternativer Weg, den man hier auch gehen könnte, wäre es übrigens, das Additionstheorem anzuwenden, um aus
$$\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2*\cos^2(x)-1$$
$$\gdw \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$$
dann zu erhalten:
$$\int \cos^2(x)dx=\int \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)dx=\int {1 \over 2}dx +\frac{1}{2}\int \cos(2x)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{\sin(2x)}{2}\,.$$
Wegen $\sin(2x)= \sin(x+x)=2*\sin(x)\cos(x)$ kommt hier die gleiche Stammfunktion raus (zu erwarten ist, wenn man additive Konstanten nicht mitrechnet, bei Rechnungen auf zwei verschiedenen Wegen eigentlich auch nur eine Stammfunktionen, die bis auf additive Konstanten gleich sind).
P.S.:
Kontrolliere das Ergebnis bitte, indem Du
$$F(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin(x)\cos(x)\;\,\big(=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)\;\big)$$
nach $x\,$ differenzierst.
(Beachte: Für $F(x)\,$ in der Form $=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin(x)\cos(x)$ ist die Produktregel, für $F(x)=\frac{1}{2}x+\frac{\sin(2x)}{4}$ ist die Kettenregel anzuwenden.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
