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| Aufgabe | Integrieren Sie mit Hilfe der P.I.
[mm] \integral{e^{\bruch{x}{2}}sinx dx} [/mm] |
Ich habe es mit der Partiellen Integration versucht aber es dreht sich im Kreis.
[mm] \integral{f´(x)g(x)dx} [/mm] = [f(x)g(x)] - [mm] \integral{f(x)g´(x)dx}
[/mm]
Sei [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] v^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
dann: [mm] (v^{\bruch{1}{2}})´ [/mm] = [mm] \bruch{v^{-\bruch{1}{2}}}{2}dv [/mm] = [mm] \bruch{dv}{2v^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] (R.subst)\Rightarrow \bruch{e^{x}}{2(e^{x})^{\bruch{1}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{2}{2}x}}{2(e^{x})^{\bruch{1}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{2}x}}{2}
[/mm]
wenn ich das jetzt verwende, komme ich auf:
= [mm] [-chos(x)e^{\bruch{x}{2}}] [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\integral{-cos(x)e^\bruch{x}{2}dx}
[/mm]
Den Sinx abzuleiten führt genauso im Kreis herum. Habe ich irgendwo einen Fehler?
Grüße
SM
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Hallo Semimathematiker,
> Integrieren Sie mit Hilfe der P.I.
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> [mm]\integral{e^{\bruch{x}{2}}sinx dx}[/mm]
> Ich habe es mit der
> Partiellen Integration versucht aber es dreht sich im
> Kreis.
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> [mm]\integral{f´(x)g(x)dx}[/mm] = [f(x)g(x)] -
> [mm]\integral{f(x)g´(x)dx}[/mm]
>
> Sei [mm]e^{\bruch{x}{2}}[/mm] = [mm]v^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> dann: [mm](v^{\bruch{1}{2}})´[/mm] =
> [mm]\bruch{v^{-\bruch{1}{2}}}{2}dv[/mm] =
> [mm]\bruch{dv}{2v^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> [mm](R.subst)\Rightarrow \bruch{e^{x}}{2(e^{x})^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{e^{\bruch{2}{2}x}}{2(e^{x})^{\bruch{1}{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{\bruch{1}{2}x}}{2}[/mm]
>
> wenn ich das jetzt verwende, komme ich auf:
>
> = [mm][-chos(x)e^{\bruch{x}{2}}][/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}\integral{-cos(x)e^\bruch{x}{2}dx}[/mm]
>
> Den Sinx abzuleiten führt genauso im Kreis herum. Habe ich
> irgendwo einen Fehler?
Es ist [mm] $\int{f'g}=fg-\int{fg'}$
[/mm]
Hier [mm] $\int{\underbrace{\sin(x)}_{f'(x)} \ \cdot{} \ \underbrace{e^{\frac{x}{2}}}_{g(x)} \ dx}=-\cos(x)\cdot{}e^{\frac{x}{2}} [/mm] \ - \ [mm] \int{-\cos(x)\cdot{}\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=-\cos(x)e^{\frac{x}{2}}+\frac{1}{2}\int{\cos(x)\cdot{}e^{\frac{x}{2}} \ dx}$
[/mm]
Nun auf das hintere Integral nochmal mit partieller Integration los mit [mm] $f'(x)=\cos(x)$ [/mm] und [mm] $g(x)=e^{\frac{x}{2}}$
[/mm]
Dann bekommst du wieder das Ausgangsintegral (bzw. ein Vielfaches) und kannst die Gleichung nach dem Integral umstellen ...
Gruß
schachuzipus
>
> Grüße
> SM
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Sorry, ich hab mich da etwas verschrieben und es beim durchlesen nicht gemerkt.
So habe ich die ´ bei der Regel vergessen und beim letzten Integral -1/2 vorgezogen aber nochmals ein "-" vor den Kosinus gesetzt....
Danke für den Tipp. Ich habe die linke Seite der Gleichung nicht mitgeschrieben....
Ich komme jetzt auf:
[mm] \integral{sin(x)e^\bruch{x}{2}dx} [/mm] = [mm] \bruch{2e^\bruch{x}{2}}{5} [/mm] (-2cos(x)+sin(x))
Werde es nach dem Essen schnell differenzieren um zu sehen ob´s passt. Aber wenn ich´s überschlage...schaut´s schlecht aus.
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