Partielle Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mo 25.01.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) sin(3x) dx}. [/mm] |
Hallo.
Erstmal eine allgemeine Frage: Bei welchen Aufgaben muss/soll ich partielle Integration bzw. Integration durch Substitution anwenden?
Zur Aufgabe:
Nach der partiellen Integration darf ich schreiben:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) (sin(3x))' dx} [/mm] = [exp(x) [mm] sin(3x)]_{0}^{2\pi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{(exp(x))' sin(3x) dx}
[/mm]
=> [mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) sin(3x) dx} [/mm] = [exp(x) [mm] sin(3x)]_{0}^{2\pi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) cos(3x) *3\ dx} [/mm]
= [exp(x) [mm] sin(3x)]_{0}^{2\pi} [/mm] - 3* [mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) cos(3x) dx} [/mm] = ...
Soweit müsste ich doch richtig gerechnet haben, oder?
Aber hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Was hat mir das jetzt gebracht? Wie muss ich weiter machen?
Ich hätte jetzt erstmal "das in den eckigen Klammern" ausgerechnet. Aber das bringt mich ja auch nicht weiter.
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Hiho,
du scheinst die partielle Integration noch nicht ganz verstanden zu haben, denn
> Nach der partiellen Integration darf ich schreiben: $ [mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) (sin(3x))' dx} [/mm] $
Nein, denn du betrachtest ja das Integral:
$ [mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) (sin(3x))' dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) (3cos(3x)) dx}$
[/mm]
Das ist was anderes, aber von vorn.
Die partielle Integration besagt:
[mm] $\integral{u(x)v'(x) dx} [/mm] = u(x)v(x) - [mm] \integral{u'(x)v(x) dx}$
[/mm]
Schreibe dir nun auf:
Was ist bei dir:
$u(x) = $
$v'(x) = $
und daher
$u'(x) = $
$v(x) = $
Nun setze nochmal ein.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 25.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Oh Gott...Ich checks wirklich nicht.
Ist bei mir u(x)=exp(x), v(x)=sin(3x) => u'(x)=exp(x) und v'(x)=3*cos(3x)?
Aber dann bin ich ja wieder falsch, weil so hab ichs grad gemacht und dann is ja falsch.
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Hallo Marina,
> Oh Gott...Ich checks wirklich nicht.
>
> Ist bei mir u(x)=exp(x), v(x)=sin(3x) => u'(x)=exp(x) und
> v'(x)=3*cos(3x)? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber dann bin ich ja wieder falsch, weil so hab ichs grad
> gemacht und dann is ja falsch.
Setze das mal schln gem. der Formel oben zusammen:
[mm] $\int{\underbrace{\exp(x)}_{u(x)}\cdot{}\underbrace{\sin(3x)}_{v'(x)} \ dx}=\underbrace{\exp(x)}_{u(x)}\cdot{}\underbrace{3\cos(3x)}_{v(x)}-\int{\underbrace{\exp(x)}_{u'(x)}\cdot{}\underbrace{3\cos(3x)}_{v(x)} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=3\cdot{}\exp(x)\cdot{}\cos(3x)-3\cdot{}\int{\exp(x)\cdot{}\cos(3x) \ dx}$
[/mm]
Nun das hintere Integral nochmal mit partieller Integration verarzten, dann bekommst du wieder das Ausgangsintegral bzw. ein Vielfaches desselben.
Dann kannst du nach [mm] $\int{\exp(x)\cdot{}\sin(3x) \ dx}$ [/mm] umstellen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 25.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Danke für die schnelle Antwort.
Aber wenn ich meine gerade genannten Daten in die "Formel" für die partielle Int. einsetze, bekomme ich aber leider nicht den selben Term raus wie du.
Setze ich u(x)=exp(x), v(x)=sin(3x) ein (muss ich u(x) und v(x) aus dem zu berechnenden Integral ablesen???), bekomme ich doch:
[mm] \integral [/mm] exp(x) 3cos(3x) dx = exp(x) sin(3x) - [mm] \integral [/mm] exp(x) sin(3x) dx
Ich hab das Prinzip noch nicht ganz verstanden, was hier u(x),v(x),u'(x),v'(x) ist und wo ich diese Teile herbekomme und einsetzen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 25.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast den Faktor 3 verloren, und das gleich 2 mal!
du hast (uv)'=u'v+uv'
das integriert gibt:
[mm] \integral{(uv)' dx}=\integral{u'v dx}+\integral{uv'dx}
[/mm]
daraus [mm] uv=\integral{u'v dx}+\integral{uv'dx}
[/mm]
oder
[mm] \integral{u'v dx}=uv-\integral{uv' dx}
[/mm]
welchen der Faktoren in deinem Integral du u', welchen v nennst kommt auf die erfahrung an.
hier [mm] e^x=u' [/mm] damit [mm] u=e^x
[/mm]
sin(3x)=v v'=3cos(3x)
damit wie du schon hattest:
[mm] \integral{u'v dx}=e^x*sin(3x)-3*\integral{e^x *cos(3x)dx}
[/mm]
das neue Integral behandelst du nochmal mit part. Integration, (die 3 en nicht vergessen!)
dann kommt wieder ein [mm] \integral{e^x*sin(3x) dx} [/mm] raus, (mit nem Faktor.
das bringst du auf die linke Seite mit dem ursprünglichen und hast dann [mm] a*\integral{e^x*sin(3x) dx} [/mm] =.....
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 25.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Ah ja...Aber wo genau hab ich denn die 3en vergessen? Find ich grad nicht. Hast du meinen ersten Artikel oben gelesen? Ich bin jetzt irgendwie ganz verwirrt. Weil ich hab jetzt da weiter gerechnet, wo ich ganz oben aufgehört hab und dann hab ich nochmal den letzten Term partiell integriert:
[mm] \integral [/mm] exp(x) cos(3x)=[exp(x) cos(3x)] + 3* [mm] \integral [/mm] exp(x) sin(3x) ???
Wenn ich das oben wieder einsetze und weiterrechne komme ich zum Schluss zum Ergebnis:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{exp(x) sin(3x) dx} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{10} [/mm] * [mm] (exp(2\pi)-1)
[/mm]
Wenn das stimmt, habe ich ja ganz oben eh richtig angefangen,oder?
Wann ist es eig. grundsätzlich sinnvoll die partielle Int. oder Int. mit Substitution zu machen?
Ich muss also immer schauen, welcher Teil des Produktes am leichtesten zu integrieren ist, das nenne ich dann v'(x) also in meinem Fall exp(x) und welcher Teil leichter abzuleiten ist, den nenne ich u(x), hier also sin(3x)???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 25.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Ergebnis ist richtig.
part. Integration: Integrand ist ein Produkt, Integral des einen Faktors kennt man, die Ableitung des anderen macht das Integral einfacher.
exakte regeln gibts nicht, die übung machts.
Substitution, man hat eine ferschachtelte fkt also nicht u*v sondern u(v(x))
auch hier hilft nur Erfahrung ausser in einfachen Fällen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Fr 05.02.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x sinx dx}=-\integral_{0}^{\pi}{e^x cosx dx} [/mm] |
Also hier nochmal eine Frage zu partieller Integration.
In meiner Lösung wird
[mm] v'(x)=e^x [/mm] und u(x)=sin x gewählt.
Ich habe bei meinem Versuch
[mm] v(x)=e^x [/mm] und u'(x)=sin x gewählt, da kommt aber dann nicht das Ergebnis raus. Müsste da nicht normal das selbe rauskommen? Oder wählt man [mm] v'(x)=e^x [/mm] und u(x)=sin x, weil dann bei der partiellen Integration im hinteren Term im Integral gleich das drinsteht, was bei der zu zeigenden Gleichheit gesucht ist, also [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x sinx dx}=-\integral_{0}^{\pi}{e^x cosx dx}[/mm]
>
> Also hier nochmal eine Frage zu partieller Integration.
>
> In meiner Lösung wird
> [mm]v'(x)=e^x[/mm] und u(x)=sin x gewählt.
>
> Ich habe bei meinem Versuch
> [mm]v(x)=e^x[/mm] und u'(x)=sin x gewählt, da kommt aber dann nicht
> das Ergebnis raus. Müsste da nicht normal das selbe
> rauskommen?
Tut es auch, es sieht nur anders aus, so dass man es nicht gleich sieht
FRED
> Oder wählt man [mm]v'(x)=e^x[/mm] und u(x)=sin x, weil
> dann bei der partiellen Integration im hinteren Term im
> Integral gleich das drinsteht, was bei der zu zeigenden
> Gleichheit gesucht ist, also [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}?[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Fr 05.02.2010 | | Autor: | lubalu |
Aber ist denn (wenn ich richtig gerechnet habe) mein Weg und mein Ergebnis das selbe wie das gegebene Ergebnis:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x sin x dx}=[e^x [/mm] (-cos [mm] x)]_{0}^{\pi}-\integral_{0}^{\pi}{e^x (-cos x) dx}=
[/mm]
[mm] =-e^\pi cos\pi [/mm] + [mm] e^0 cos(0)+\integral_{0}^{\pi}{e^x (-cos x) dx}= e^\pi+1+\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}
[/mm]
Oder hab ich hier wieder irgendwo einen Fehler gemacht. Ich habe [mm] v(x)=e^x [/mm] und u'(x)=sin x gewählt.
Wenn das stimmt, versteh ich nicht, wie
[mm] e^\pi+1+\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}=-\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx} [/mm]
sein soll?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aber ist denn (wenn ich richtig gerechnet habe) mein Weg
> und mein Ergebnis das selbe wie das gegebene Ergebnis:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x sin x dx}=[e^x[/mm] (-cos
> [mm]x)]_{0}^{\pi}-\integral_{0}^{\pi}{e^x (-cos x) dx}=[/mm]
>
> [mm]=-e^\pi cos\pi[/mm] + [mm]e^0 cos(0)+\integral_{0}^{\pi}{e^x (-cos x) dx}= e^\pi+1+\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}[/mm]
>
> Oder hab ich hier wieder irgendwo einen Fehler gemacht. Ich
> habe [mm]v(x)=e^x[/mm] und u'(x)=sin x gewählt.
>
> Wenn das stimmt, versteh ich nicht, wie
>
> [mm]e^\pi+1+\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}=-\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}[/mm]
> sein soll?!
>
ja , warum denn nicht ? Stell Dir mal vor, es wäre
(*) [mm] $\integral_{0}^{\pi}{e^x cos x dx}= -\bruch{1}{2}(e^{\pi}+1)$
[/mm]
Wäre für Dich dann die Welt wieder in Ordnung ? Na also, denn (*) stimmt
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Da Du Mathestudent im Hauptstudium bist (so stehts in Deinem Profil), sind Dir komplexe Zahlen vertaut.
Es ist
[mm] $\integral_{0}^{\pi}{e^x(cosx+isinx) dx}= \integral_{0}^{\pi}{e^{(1+i)x}dx}= \bruch{1}{1+i}e^{(1+i)x}|^{\pi}_0 [/mm] = [mm] \bruch{1-i}{2}(-e^{\pi}-1)$, [/mm]
also
[mm] $\integral_{0}^{\pi}{e^xcosx dx}+i\integral_{0}^{\pi}{e^xsin dx}= \bruch{1-i}{2}(-e^{\pi}-1)$
[/mm]
So, nun gehe in der letzten Gleichung zu Real- und Imaginärteil über
FRED
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