Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie folgende Integrale durch partielle Integration vom Typ 1 "Abräumen".
[mm] a)\integral_{}^{}{x^{2}*cosx dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{}^{}{(ax+b)*sinx dx}
[/mm]
[mm] c)\integral_{}^{}{x^{4}*sinx dx}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie das Integral [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{3x-4} dx} [/mm] durch Substitution. |
Hallo^^
Wir haben neu mit diesem Thema begonnen und ich bin mir nciht sicher ob ich alles richtig hab,deswegen wärs gut wenn jemand drüber schaut.
[mm] a)\bruch{1}{3}x^{3}*cosx-\integral_{}^{}{\bruch{1}{3}x^{3}*-sinx dx}
[/mm]
Kann man das nicht noch vereinfachen?
[mm] b)(\bruch{1}{2}ax^{2})+bx)*sinx-\integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}ax^{2})+bx)*cosx dx}
[/mm]
Hier kann mans doch bestimmt auch vereinfachen,aber wie?
[mm] c)\bruch{1}{5}x^{5}*sinx-\integral_{}^{}{\bruch{1}{5}x^{5}*cosx dx}
[/mm]
Aufgabe 2:
Ich hab als Ergebnis [mm] (\bruch{1}{3}*(3x-4))^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bei Aufgabe 1 hast du leider 3mal falsch angefangen.
Wie man die partielle Integration durchzieht, scheinst du aber zu wissen! Das einzige was du noch wissen musst: Du solltest die Funktionen immer so wählen, dass sie durch Ableiten und/oder Integrieren einfacher werden als davor!
z.B. hast du bei a) x² integriert und cos(x) abgeleitet. Wenn du x² integrierst wird der Ausdruck aber komplizierter! Nämlich zu [mm] \bruch{1}{3}x³. [/mm] Und der Kosinusausdruck wird zu einem Sinus, nicht einfacher, nicht komplizierter als davor.
Aber wie gesagt, wenn du x² stattdessen ableitest und cosx integrierst, wird dein Ergebnis im Endeffekt viel schöner und vor allem "integralzeichenfrei"! Da das x² z.B. zu einem 2x wird (schon mal kein Quadrat mehr bei).
Tipp: Nach partieller Integration kann noch ein Integral entstehen, dass du wieder partiell integrieren kann. Das ist bei a) und c) der Fall. Aber probier einfach mal rum, du siehst das dann bestimmt!
Zu Aufgabe 2: Leite mal ab! Dann kommst du auf [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3x-4}. [/mm] Also ein [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu viel! Daher müsstest du dein Ergebnis einfach nur mal 2 rechnen. Der Fehler kam wohl daher, dass du, nbachdem du den Exponent um 1 erhöht hast, nicht durch ihn geteilt hast.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo!
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> Bei Aufgabe 1 hast du leider 3mal falsch angefangen.
> Wie man die partielle Integration durchzieht, scheinst du
> aber zu wissen! Das einzige was du noch wissen musst: Du
> solltest die Funktionen immer so wählen, dass sie durch
> Ableiten und/oder Integrieren einfacher werden als davor!
>
> z.B. hast du bei a) x² integriert und cos(x) abgeleitet.
> Wenn du x² integrierst wird der Ausdruck aber
> komplizierter! Nämlich zu [mm]\bruch{1}{3}x³.[/mm] Und der
> Kosinusausdruck wird zu einem Sinus, nicht einfacher, nicht
> komplizierter als davor.
> Aber wie gesagt, wenn du x² stattdessen ableitest und cosx
> integrierst, wird dein Ergebnis im Endeffekt viel schöner
> und vor allem "integralzeichenfrei"! Da das x² z.B. zu
> einem 2x wird (schon mal kein Quadrat mehr bei).
>
> Tipp: Nach partieller Integration kann noch ein Integral
> entstehen, dass du wieder partiell integrieren kann. Das
> ist bei a) und c) der Fall. Aber probier einfach mal rum,
> du siehst das dann bestimmt!
>
Ok,danke ich habs versucht,aber komm immer noch nicht auf ein richtiges Ergebnis,hier mal meine Rechnung:
a) [mm] \integral_{}^{}{cosx*x^{2} dx}
[/mm]
[mm] =sinx*x^{2}-\integral_{}^{}{sinx*2x dx}
[/mm]
Jetzt muss ich das neue Integral wieder integrieren,also [mm] \integral_{}^{}{sinx*2x dx}=-cosx*2x-\integral_{}^{}{-2cosx*2 dx}
[/mm]
=-cosx*2x+2sinx
Also ist dann [mm] \integral_{}^{}{cosx*x^{2} dx}=sinx*x^{2}+cosx*2x+2sinx [/mm] ?
[mm] b)\integral_{}^{}{sinx*(ax+b) dx}=-cosx*(ax+b)-\integral_{}^{}{-cosx*a dx}
[/mm]
Müsst ich hier nicht auch das neue Integral nochmal integrieren?
[mm] c)\integral_{}^{}{sinx*x^{4} dx}=-cosx*x^{4}-\integral_{}^{}{-cosx*4x^{3} dx}
[/mm]
Jetzt integrier ich das neue Integral nochmal [mm] \integral_{}^{}{-cosx*4x^{3} dx}=-sinx*4x^{3}-\integral_{}^{}{-sinx*12x^{2} dx}
[/mm]
dann hätt ich aber noch ein Integral,das würde doch dann immer so weitergehn oder wie???
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Hallo!
Du hast es nun verstanden.
> Also ist dann [mm]\integral_{}^{}{cosx*x^{2} dx}=sinx*x^{2}+cosx*2x+2sinx[/mm]
Hier ist ein Vorzeichenfehler:
[mm]\integral_{}^{}{cosx*x^{2} dx}=sinx*x^{2}+cosx*2x\red{-}2sinx[/mm]
> ?
>
> [mm]b)\integral_{}^{}{sinx*(ax+b) dx}=-cosx*(ax+b)-\integral_{}^{}{-cosx*a dx}[/mm]
>
> Müsst ich hier nicht auch das neue Integral nochmal
> integrieren?
natürlich, denn du willst die Integralzeichen ja weg haben. Aber dieses Integral ist ja nun ganz einfach.
> [mm]c)\integral_{}^{}{sinx*x^{4} dx}=-cosx*x^{4}-\integral_{}^{}{-cosx*4x^{3} dx}[/mm]
>
> Jetzt integrier ich das neue Integral nochmal
> [mm]\integral_{}^{}{-cosx*4x^{3} dx}=-sinx*4x^{3}-\integral_{}^{}{-sinx*12x^{2} dx}[/mm]
>
> dann hätt ich aber noch ein Integral,das würde doch dann
> immer so weitergehn oder wie???
Genau, bis das [mm] x^n [/mm] weg ist. Das ist etwas mühselig, und du mußt auch sehr auf das Vorzeichen, insbesondere das vor den Integralen aufpassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo!
>
> Du hast es nun verstanden.
>
>
>
> > Also ist dann [mm]\integral_{}^{}{cosx*x^{2} dx}=sinx*x^{2}+cosx*2x+2sinx[/mm]
>
>
> Hier ist ein Vorzeichenfehler:
>
> [mm]\integral_{}^{}{cosx*x^{2} dx}=sinx*x^{2}+cosx*2x\red{-}2sinx[/mm]
>
>
Aber warum denn -? Wenn vor dem Integral und im Integral - steht,dann wirds doch zu + oder nicht?
>
>
> > ?
> >
> > [mm]b)\integral_{}^{}{sinx*(ax+b) dx}=-cosx*(ax+b)-\integral_{}^{}{-cosx*a dx}[/mm]
>
> >
> > Müsst ich hier nicht auch das neue Integral nochmal
> > integrieren?
>
>
> natürlich, denn du willst die Integralzeichen ja weg haben.
> Aber dieses Integral ist ja nun ganz einfach.
>
Kommt da [mm] \integral_{}^{}{sinx*(ax+b) dx}=-cosx*(ax+b)-sinx*a?
[/mm]
>
>
> > [mm]c)\integral_{}^{}{sinx*x^{4} dx}=-cosx*x^{4}-\integral_{}^{}{-cosx*4x^{3} dx}[/mm]
>
> >
> > Jetzt integrier ich das neue Integral nochmal
> > [mm]\integral_{}^{}{-cosx*4x^{3} dx}=-sinx*4x^{3}-\integral_{}^{}{-sinx*12x^{2} dx}[/mm]
>
> >
> > dann hätt ich aber noch ein Integral,das würde doch dann
> > immer so weitergehn oder wie???
>
>
> Genau, bis das [mm]x^n[/mm] weg ist. Das ist etwas mühselig, und du
> mußt auch sehr auf das Vorzeichen, insbesondere das vor den
> Integralen aufpassen.
Ist das dann [mm] \integral_{}^{}{sinx*x^{4} dx}=sinx*4x^{3}-cosx*12x^{2}-sinx*24x-24cosx [/mm] ???
lg
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Hallo, nach der 1. Partiellen Integratinon hast du
[mm] x^{2}*sin(x)-\integral_{}^{}{2x*sin(x) dx}
[/mm]
jetzt die 2. partielle Integration
[mm] =x^{2}*sin(x)-(-2x*cos(x)-\integral_{}^{}{-2*cos(x) dx})
[/mm]
[mm] =x^{2}*sin(x)-(-2x*cos(x)+\integral_{}^{}{2*cos(x) dx})
[/mm]
[mm] =x^{2}*sin(x) [/mm] - (-2x*cos(x)+2*sin(x))
jetzt solltest du deinen Fehler erkennen - vor der Klammer bewirkt das Vertauschen der Vorzeichen
[mm] =x^{2}*sin(x)+2x*cos(x)-2*sin(x)
[/mm]
Steffi
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Hallo, hier hat sich erneut ein Vorzeichenfehler eingeschlichen
[mm] (-cos(x))*(ax+b)-\integral_{}^{}{-a*cos(x) dx}
[/mm]
[mm] =(-cos(x))*(ax+b)+a\integral_{}^{}{cos(x) dx}
[/mm]
=(-cos(x))*(ax+b)+a*sin(x)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo, hier hat sich erneut ein Vorzeichenfehler
> eingeschlichen
>
> [mm](-cos(x))*(ax+b)-\integral_{}^{}{-a*cos(x) dx}[/mm]
Warum hast du jetzt -a,das - muss doch eigentlich vor dem cos x oder nicht?
> [mm]=(-cos(x))*(ax+b)+a\integral_{}^{}{cos(x) dx}[/mm]
>
> =(-cos(x))*(ax+b)+a*sin(x)
>
> Steffi
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Warum hast du jetzt -a,das - muss doch eigentlich vor dem
> cos x oder nicht?
Damit hast Du streng genommen Recht. Aber man darf das Minuszeichen / Vorzeichen auch vor das gesamte Produkt schreiben (wie bei Steffi geschehen).
Gruß
Loddar
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Hallo, das Verfahren der partiellen Integration ist dirabsolut bekannt, dein kleines Problem sind die Vorzeichen, es fehlt ein Summand, sicherlich nur ein Abschreibfehler
[mm] -x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)+12x^{2}*cos(x)-24x*sin(x)-24*cos(x)
[/mm]
(ich hoffe, dass ich keinen Abschreibfehler habe)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo, das Verfahren der partiellen Integration ist
> dirabsolut bekannt, dein kleines Problem sind die
> Vorzeichen, es fehlt ein Summand, sicherlich nur ein
> Abschreibfehler
>
> [mm]-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)+12x^{2}*cos(x)-24x*sin(x)-24*cos(x)[/mm]
>
> (ich hoffe, dass ich keinen Abschreibfehler habe)
>
hmmm,also ich hab [mm] -x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)-12x^{2}*cos(x)ü24x*sin(x)+24*cos(x)
[/mm]
Ich versteh nicht warum ich die letzten drei Vorzeichen falsch hab,ich habs auch 2 mal nachgerechnet,kannst du mir vielleicht den letzten Schritt,den du davor gerechnet hast aufschreiben,damit ich meinen Fehler entdecke ?
lg
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Hallo, versuchen wir's
[mm] \integral_{}^{}{x^{4}*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4\integral_{}^{}{x^{3}*cos(x) dx}
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4(x^{3}*sin(x)-3\integral_{}^{}{x^{2}*sin(x) dx})
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)-12\integral_{}^{}{x^{2}*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)-12(-x^{2}*cos(x)+2\integral_{}^{}{x*cos(x) dx})
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)+12x^{2}*cos(x)-24\integral_{}^{}{x*cos(x) dx})
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)+12x^{2}*cos(x)-24(x*sin(x)-\integral_{}^{}{sin(x) dx})
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)+12x^{2}*cos(x)-24x*sin(x)+24\integral_{}^{}{sin(x) dx})
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)+12x^{2}*cos(x)-24x*sin(x)+24*(-cos(x))
[/mm]
[mm] =-x^{4}*cos(x)+4x^{3}*sin(x)+12x^{2}*cos(x)-24x*sin(x)-24*cos(x)
[/mm]
jetzt erkennst du bestimmt deinen Vorzeichenfehler,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank für deine Mühe,ich habs jetzt verstanden ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Zu Aufgabe 2: Leite mal ab! Dann kommst du auf
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3x-4}.[/mm] Also ein [mm]\bruch{{2}[/mm]zu viel!
> Daher müsstest du dein Ergebnis einfach nur mal 2 rechnen.
> Der Fehler kam wohl daher, dass du, nbachdem du den
> Exponent um 1 erhöht hast, nicht durch ihn geteilt hast.
>
> Teufel
Stimmt, es ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu viel,aber ich erkenn meinen Fehler noch nicht,hier meine Rechnung:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{3x-4} dx}
[/mm]
z:=3x-4
[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=3
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{3}dz
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\integral_{}^{}{\wurzel{z} dz}+C
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}z^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*(3x-4)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
???
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Hallo Mandy,
> Stimmt, es ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] zu viel,aber ich erkenn meinen
> Fehler noch nicht,hier meine Rechnung:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{3x-4} dx}[/mm]
> z:=3x-4
>
> [mm]z'=\bruch{dz}{dx}=3[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{3}dz[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}*\integral_{}^{}{\wurzel{z} dz}+C[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hmm, das $+C$ kommt eigentlich nach oder bei der Integration hinzu
>
> [mm]=\bruch{1}{3}z^{\bruch{3}{2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier liegt der Hund begraben, du hast [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] falsch integriert!
[mm] $\sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Dann benutze die Potenzregel: [mm] $f(x)=x^n\Rightarrow\int{f(x) \ dx}=\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1} [/mm] \ + \ C$ für alle [mm] $n\neq [/mm] 1$
>
> [mm]=\bruch{1}{3}*(3x-4)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> ???
LG
schachuzipus
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