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| Aufgabe | Folgendes Integral ist zu lösen:
[mm] \integral_{}^{}{x \wurzel{1+x} dx}
[/mm]
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Hallo Leute, das sah mir eigentlich so aus als ob man das ganz einfach mit Partieller Integration lösen könnte aber ich komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis.
also hab ich erstmal x=u und [mm] \wurzel{1+x}=v' [/mm] gesetzt:
= [mm] x\bruch{2}{3}(1+x)^{3/2} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{3}(1+x)^{3/2} dx}
[/mm]
= [mm] x\bruch{2}{3}(1+x)^{3/2} [/mm] - [mm] \bruch{4}{15}(1+x)^{5/2}
[/mm]
In der Lösung dagegen steht aber das [mm] \bruch{2}{5}(1+x)^{5/2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}(1+x)^{3/2}
[/mm]
Was könnte ich falsch gemacht haben? wo ist in der Lösung das x verschwunden und warum sind die Seiten vertauscht?
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> Folgendes Integral ist zu lösen:
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> [mm]\integral_{}^{}{x \wurzel{1+x} dx}[/mm]
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> Hallo Leute, das sah mir eigentlich so aus als ob man das
> ganz einfach mit Partieller Integration lösen könnte aber
> ich komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis.
>
> also hab ich erstmal x=u und [mm]\wurzel{1+x}=v'[/mm] gesetzt:
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> = [mm]x\bruch{2}{3}(1+x)^{3/2}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{3}(1+x)^{3/2} dx}[/mm]
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> = [mm]x\bruch{2}{3}(1+x)^{3/2}[/mm] - [mm]\bruch{4}{15}(1+x)^{5/2}[/mm]
>
> In der Lösung dagegen steht aber das
> [mm]\bruch{2}{5}(1+x)^{5/2}[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}(1+x)^{3/2}[/mm]
>
> Was könnte ich falsch gemacht haben?
Nichts
> wo ist in der Lösung
> das x verschwunden und warum sind die Seiten vertauscht?
Die Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ("Integrationskonstante"): die Differenz zwischen Deiner Ableitung und der Lösung hat Ableitung konstant $0$ (sagt ein CAS) und daher scheinen sich die beiden Lösungen in der Tat nur um eine Konstante zu unterscheiden. Wüsste aber im Augenblick nicht gleich, wie dies rein algebraisch zu zeigen wäre.
Die andere Lösung ist ziemlich sicher mit der Substitution $u := 1+x$ gefunden worden, denn dann ist
[mm]\int x\sqrt{1+x}\; dx=\int (u-1)\sqrt{u}\; du=\int \left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)\;du=\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{2}{5}(1+x)^{5/2}-\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Sa 26.01.2008 | | Autor: | codymanix |
Na das ist ja lustig, Mathe kann ja so komisch sein. Zwei völlig verschiedene Lösungen die dann doch gleich sind, und keiner kann's beweisen :)
Jetzt weiß ich wieso die Profs immer so lange zum Kontrollieren der Arbeiten brauchen, selbst wenn man eine ganz andere Lösung hat als in der Lösung steht kanns dennoch richtig sein..
Vielen Dank jedenfalls erstmal!
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