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| Aufgabe 1 | | [mm] \integral_{b}^{a} x*e^x\, [/mm] dx |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral_{b}^{a} x^2*e^x\, [/mm] dx |
Hi.
Ich habe eine allgemeine Schwierigkeit mit der partiellen Integration. Undzwar: Die partielle Integration ist doch im Allgemeinen dafuer da, eine Stammfunktion von f(x) zu bilden.
Wenn ich die partielle Integration nun durchfuehre und am Ende zu irgendeinem Ergebnis komme, wo kann ich dann die Stammfunktion ablesen von f(x)?
Das waere schonmal die erste Frage, was mich aber noch viel mehr beschaeftigt:
Aufgabe 1 ist ja an sich gar kein Problem. Nur jetzt komm ich mal zur Aufgabe zwei. Dort haben wir im Exponenten von x eine 2 stehen. Es heißt ja: Falls dieser Exponent ueber 1 ist, so muss man die Integration mehrfach durchfuehren (in diesem Falle: 2 mal, da der Exponent ja 2 ist).
Angenommen ich fuehre das jetzt einmal durch, am Ende kommt irgendein Ergebnis raus. Wie zum Geier fuehr ich dann das zweite mal die Integration durch? Ich hab schon in meinen Buechern danach gesucht ob da nicht irgendwo ein vernuenftiges Beispiel steht, aber ich find da echt nur die Angabe, dass die Integration mehrfach durchgefuehrt werden muss.
Ich schreib morgen meine Mathe LK Klausur und das ist eigentlich eine meiner finalen Fragen. Falls mir jemand die Fragen beantworten koennte und bitte bitte aufschreiben koennte wie man nun die 2. Aufgabe genau zu rechnen hat waere ich super dankbar!
MFG Tim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 So 12.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo evilmaker!
> Wenn ich die partielle Integration nun durchfuehre und am
> Ende zu irgendeinem Ergebnis komme, wo kann ich dann die
> Stammfunktion ablesen von f(x)?
Das Ergebnis ist Deine Stammfunktion $F(x)_$ . Denn diese Funktion $F(x)_$ abgeleitet ergibt ja haargenau (zumindest sollte sie das  ) unsere Ausgangsfunktion $f(x)_$ .
Ich werde Dir mal die 2. Aufgabe vorrechnen:
[mm] $\integral{x^2-e^x \ dx}$
[/mm]
Sei $u \ = \ [mm] x^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 2x$
sowie $v' \ = \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
[mm] $\integral{x^2*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^x-\integral{2x*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^x-2*\blue{\integral{x*e^x \ dx}}$
[/mm]
Nun betrachten wir das hintere Integral und wenden wiederum die partielle Integration an:
$u \ = \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 1$
$v' \ = \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Damit wird:
[mm] $\blue{\integral{x*e^x \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x*e^x-\integral{1*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x*e^x-\integral{1*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x*e^x-e^x [/mm] \ = \ [mm] \blue{e^x*(x-1)}$
[/mm]
Dies setzen wir nun in die obige Form wieder ein:
[mm] $\integral{x^2*e^x \ dx} [/mm] \ = [mm] x^2*e^x-2*\blue{\integral{x*e^x \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^x-2*\left[\blue{e^x*(x-1)}\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left[x^2-2*(x-1)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left(x^2-2x+2\right) [/mm] + C$
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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Tausend Dank schonmal! Es ist um einiges klarer geworden.
Nur eine kleine Frage hab ich noch, falls ich jetzt Integrationsgrenzen von 0;1 habe, die sollte ich dann schon mitrechnen?! Hab mich naemlich nur gewundert, weil ich in deiner Musterloesung das gewoehnte "[f(x)]" mit den Integrationsgrenzen fehlte :).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 12.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo evilmaker!
Ja, ich habe das als unbestimmtes Integral gelöst (daher auch die Integrationskonstante $+C$ am Ende).
Als bestimmtes Integral (also mit Integrationsgrenzen) sähe es folgendermaßen aus (Achtung: in diese eckigen Klammern steht aber bereits die Stammfunktion [mm] $\red{F}(x)_$ [/mm] , also mit großem $F_$):
[mm] $\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \red{F}(x) \ \right]_a^b$
[/mm]
Speziell unsere Aufgabe:
[mm] $\integral_a^b{x^2*e^x \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \left[ \ e^x*\left(x^2-2x+2\right) \ \right]_a^b$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 So 12.03.2006 | | Autor: | evilmaker |
Tausend Dank! Endlich hab ichs verstanden.
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