Partielle Integration+ Subst. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Jennifer |
Gitb es eigentlich eine kleine Faustregel mit deren Hilfe man feststellen kann, ob man bei der vorliegenden Funktion zur Bildung der Stammfunktion die partielle Integration oder die Substitution anwenden muss?
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
LG
Jennifer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
Es wäre schön, wenn Du uns Deine Funktion auch noch verraten würdest.
So pauschal ist ein Lösungsansatz nicht ganz möglich  ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Jennifer |
Ähm, ich habe mich wirklich sehr verworren ausgedrückt...zuviel mathe gelernt ;) Also, es geht um keine konkrete Funktion sondern einfach um die Frage, wie ich erkenne, ob die partielle Integration oder die Substitution sinnvoll wäre.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Jennifer,
Intergieren ist immer schwer
Aber hier paar Anmerkungen welche Integrationsmethode am erfolgversprechensten aussieht.
Also um mit Substitution integrieren zu können muss man halt eine geeignete Substitution finden, so dass [mm] $\int_a^b f\left(g(x)\right)\cdot [/mm] g'(x) dx = [mm] \int_{g(a)}^{g(b)} [/mm] f(t) dt $ angewendet werden kann. Das ist vor allem Efahrungssache.
Die partielle Integration wird vor allem in zwei Fällen angewendet, (a) zum einen wenn man ein Produkt von einer Funktion hat, die sich nur unwesentlich verändert (zB [mm] $e^x$, $\sin(x)$, $\cos(x)$) [/mm] und einem Polynom. Dann kann man sehr häufig durch mehrfaches anwenden der partiellen Integration das Polynom so oft ableiten, bis es sich nur noch um eine Konstante handelt. Im anderen Fall (b) hat man zwei Funktionen, deren Ableitung sich nur geringfügig verändert, dann wendet man die partielle Intergration so an, dass auf der rechten Seite wieder das ursprüngliche gesuchte Integral erscheint und löst danach auf.
Beispiele dafür wären
(a) [mm] $\int x^2 e^x [/mm] dx$ und (b) [mm] $\int \sin(x)\cos(x) [/mm] dx$
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Jennifer |
ahh danke :)
und bei [mm] f(x)=10x*e^x² [/mm] subsitituiert man wohl deßhalb, weil sich die x² anbieten..mh?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
> und bei [mm]f(x)=10x*e^{x^2}[/mm] subsitituiert man wohl deshalb, weil
> sich die x² anbieten..mh?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Zum einen gehört diese Funktion ja zu der Reihe, die Zwerglein in seiner Antwort genannt hat.
Und: JA, Du hast recht ...
Der Ausdruck [mm] $e^{x^2}$ [/mm] läßt sich nämlich nicht elementar integrieren.
Zudem wird diese Funktion ja nahezu mit der Ableitung des Exponenten multipliziert, so daß hier die Substitution $z \ := \ [mm] x^2$ [/mm] der einzige Lösungsansatz ist.
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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Hi, Jennifer,
Mit der Methode der part.Int. können vor allem Funktionen folgenden Typs integriert werden:
[mm] f(x)=x^{n}*ln(x)
[/mm]
[mm] f(x)=x^{n}*e^{x}
[/mm]
[mm] f(x)=x^{n}*sin(x)
[/mm]
[mm] f(x)=x^{n}*cos(x)
[/mm]
[mm] f(x)=e^{kx}*sin(x)
[/mm]
[mm] f(x)=e^{kx}*cos(x)
[/mm]
sowie bei Arcusfunktionen ("Einsertrick"!)
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