Partielle DGL (Klassifikation) < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 27.03.2005 | | Autor: | Kix |
Hallo!
Mal wieder eine Frage. ;)
Es geht um die Klassifikation von part. DGL. (elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch) der Form: Bronstein S. 477, (9.78a). Ich denk die meisten haben Bronstein hier! ;)
Okay, also kann ich daraus eine Matrix die so aussieht machen:
[mm] \pmat{ A & B \\ B & C }
[/mm]
Determinante machen dann schauen welcher Typ. Bisher alles klar.
Was ist nun wenn meine part. DGL so aussieht:
[mm] \bruch{d^{2}u}{d x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{d^{2}u}{d y^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{d^{2}u}{d z^{2}} [/mm] - 20 [mm] \bruch{d^{2}u}{dxdz} [/mm]
Also, die hat jetzt auf einmal 3 Parameter (x, y und z). Finde dafür keine Formel. Wie kann ich daraus meine Matrix aufstellen um zu schauen um was es sich für einen Typ handelt.
Vielen Dank schon mal!
Greets & Frohe Ostern!
-AA-
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Hallo,
ich denke mal die Matrix sieht dann so aus:
[mm]\begin{gathered}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & { - 10} \\
0 & 1 & 0 \\
{ - 10} & 0 & 1 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
Mathepower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Kix |
Hallo!
Also nach meiner Lösung sieht die Matrix so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 \\ 10 & 0 & 2 }
[/mm]
Wie geht man denn hier prinzipiell vor? Also wie bist du überhaupt auf deine Lösungs-Matrix gekommen? Hab keine Ahnung wie ich das angehen soll... :(
Viele Grüsse,
-AA-
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Hallo,
> Wie geht man denn hier prinzipiell vor? Also wie bist du
> überhaupt auf deine Lösungs-Matrix gekommen? Hab keine
> Ahnung wie ich das angehen soll... :(
Ich habe da gedacht, dass das so ähnlich ist wie die Hauptachsentransformation. Dort handelt es sich um eine symmetrische Matrix.
Also die reinen partiellen Ableitungen [mm]u_{xx} ,\;u_{yy} ,\;u_{zz} [/mm] sind da kein Problem. Hier sieht die Matrix so aus:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Nun ist in der Gleichung auch noch ein gemischte Glied vorhanden: [mm] -20 u_{xz}[/mm]
Um dies auch noch zu berücksichtigen schreibt man in die 1. Zeile 3. Spalte und in die 3.Zeile 1.Spalte jeweils eine eine -10 hinein:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & { - 10} \\
0 & 1 & 0 \\
{ - 10} & 0 & 1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Um den Typ der partiellen Differentialgleichung zu bestimmen, bestimmt die Eigenwerte obiger Matrix. Die Eigenwerte ermittelt man durch lösen des charakteristischen Polynoms, welches sich durch
[mm]\det \left( {\begin{array}{*{20}c}
{1\; - \;\lambda } & 0 & { - 10} \\
0 & {1\; - \;\lambda } & 0 \\
{ - 10} & 0 & {1\; - \;\lambda } \\
\end{array} } \right)\; = \;0[/mm]
ergibt.
Das charakteristische Polynom ergibt sich hier zu:
[mm]
\begin{gathered}
\det \left( {\begin{array}{*{20}c}
{1\; - \;\lambda } & 0 & { - 10} \\
0 & {1\; - \;\lambda } & 0 \\
{ - 10} & 0 & {1\; - \;\lambda } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {1\; - \;\lambda } \right)\;\left| {\begin{array}{*{20}c}
{1\; - \;\lambda } & { - 10} \\
{ - 10} & {1\; - \;\lambda } \\
\end{array} } \right| \hfill \\
= \;\left( {1\; - \;\lambda } \right)\;\left( {\left( {1\; - \;\lambda } \right)^2 \; - \;100} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Haben nun alle Eigenwerte gleiches Vorzeichen, so ist die DGL vom elliptischen Typ. Haben die Eigenwerte dagegen verschiedenes Vorzeichen, so ist die DGL hyperbolisch. Gibt es Eigenwerte die 0 sind, so ist die DGL vom parabolischen Typ.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Kix |
Jawohl! Klappt so! Besten Dank für die Hilfe!
Greets,
-AA-
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