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| Aufgabe | Aus den Transformationsgleichungen x = [mm] r*cos(\phi) [/mm] und y = [mm] r*sin(\phi)
[/mm]
ergeben sich durch Differentiation nach x bzw. y lineare Gleichungssysteme,
aus denen man die Darstellungen
[mm] \bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] = [mm] cos(\phi)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \phi}{\partial x} [/mm] = - [mm] \bruch{sin(\phi)}{r}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial r}{\partial y} [/mm] = [mm] sin(\phi)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \phi}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{cos(\phi)}{r} [/mm] |
Hallo!
Ich versteh leider überhaupt nicht wie man auf diese Formeln kommt.
Nehmen wir die erste zum Beispiel:
[mm] \bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] = [mm] cos(\phi)
[/mm]
Wie kann ich r nach x ableiten?
Ich nehme mir die Formel x = [mm] r*cos(\phi) [/mm] und stelle sie nach r um.
Dann erhalte ich r = [mm] \bruch{x}{cos(\phi)}.
[/mm]
Das leite ich nun nach x ab, und erhalte
[mm] \bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos(\phi)}
[/mm]
Kann mir jemand sagen wo ich den Fehler mache?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aus den Transformationsgleichungen x = [mm]r*cos(\phi)[/mm] und [mm]y = r*sin(\phi)[/mm]
> ergeben sich durch Differentiation nach x bzw. y lineare
> Gleichungssysteme,
> aus denen man die Darstellungen
>
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial x} = cos(\phi)[/mm]
> [mm]\bruch{\partial \phi}{\partial x} = - \bruch{sin(\phi)}{r}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial y} = sin(\phi)[/mm]
> [mm]\bruch{\partial \phi}{\partial y} = \bruch{cos(\phi)}{r}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich versteh leider überhaupt nicht wie man auf diese
> Formeln kommt.
> Nehmen wir die erste zum Beispiel:
>
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial x} = cos(\phi)[/mm]
>
> Wie kann ich r nach x ableiten?
> Ich nehme mir die Formel [mm]x = r*cos(\phi)[/mm] und stelle sie
> nach r um.
> Dann erhalte ich r = [mm]\bruch{x}{cos(\phi)}.[/mm]
> Das leite ich nun nach x ab, und erhalte
>
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial x} = \bruch{1}{cos(\phi)}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen wo ich den Fehler mache?
Du hast die partielle Ableitung von [mm] $\phi$ [/mm] nach x vergessen, denn [mm] $\phi$ [/mm] ist keine Konstante. Richtig wäre
[mm] \bruch{\partial r}{\partial x} = \bruch{1}{cos(\phi)} + x \bruch{\sin\phi}{\cos^2\phi} \bruch{\partial \phi}{\partial x}[/mm] .
In der Aufgabe steht schon der Hinweis: du sollst ein lineares Gleichungssystem lösen, das sich ergibt, wenn du die partiellen Ableitungen ausrechnest. Das ist etwas einfacher, wenn du nicht umstellst.
Zum Beispiel: Leitest du [mm] $x=r\cos \phi$ [/mm] partiell nach x und y ab, so ergibt sich
[mm] 1 = \bruch{\partial x}{\partial x} = \bruch{\partial r}{\partial x} \cos\phi - r \sin \phi * \bruch{\partial \phi}{\partial x} [/mm]
und
[mm] 0 = \bruch{\partial x}{\partial y} = \bruch{\partial r}{\partial y} \cos\phi - r \sin \phi * \bruch{\partial \phi}{\partial y} [/mm] .
Das Gleiche machst du mit [mm] $y=r\sin\phi$ [/mm] und bekommst dann vier lineare Gleichungen mit den vier gesuchten partiellen Ableitungen als Unbekannten (die sogar in zwei lineare Gleichungsysteme mit je zwei Unbekannten zerfallen).
Viele Grüße
Rainer
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Super, jetzt hab ich verstanden wie das geht!
Vielen Dank!
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