Partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] J_F(x), [/mm] divF(x) und rotF(x) für den "magnetischen Wirbel"
F: [mm] \IR^3 [/mm] \ [mm] \{x\in\IR^3|x_1=x_2=0}\to\IR^3 [/mm] , [mm] F(x)=\bruch{1}{x_1^2+x_2^2}\vektor{-x_2 \\ x_1\\0} [/mm] |
divF(x) und rotF(x) stehen für Divergens und Rotation.
[mm] F_1(x)=\bruch{1}{x_1^2+x_2^2}*(-x_2)=-(x_1^2+x_2^2)^{-1}*x_2
[/mm]
[mm] F_2(x)=\bruch{1}{x_1^2+x_2^2}*x_1=(x_1^2+x_2^2)^{-1}*x_1
[/mm]
[mm] F_3(x)=0
[/mm]
Partielle Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_1}=(x_1^2+x_2^2)^{-2}*x_2*2x_1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_2}=u*v'+u'*v
[/mm]
[mm] u=-(x_1^2+x_2^2)^{-1}
[/mm]
[mm] u'=(x_1^2+x_2^2)^{-2}*2x_2^2
[/mm]
[mm] v=x_2
[/mm]
v'=1
[mm] \bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_2}=-(x_1^2+x_2^2)^{-1}+(x_1^2+x_2^2)^{-2}*2x_2^3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_3}=0
[/mm]
sind die partiellen Ableitungen soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Mo 28.09.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Rebellismus,
du meinst wahrscheinlich: [mm] $\{x\in\IR^3|x_1=x_2=0\}\subseteq\IR^3$
[/mm]
> Partielle Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_1}=(x_1^2+x_2^2)^{-2}*x_2*2x_1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_2}=u*v'+u'*v[/mm]
>
> [mm]u=-(x_1^2+x_2^2)^{-1}[/mm]
>
> [mm]u'=(x_1^2+x_2^2)^{-2}*2x_2^2[/mm]
>
> [mm]v=x_2[/mm]
>
> v'=1
>
> [mm]\bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_2}=-(x_1^2+x_2^2)^{-1}+(x_1^2+x_2^2)^{-2}*2x_2^3[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial F_1(x)}{\partial x_3}=0[/mm]
>
> sind die partiellen Ableitungen soweit richtig?
z.T., mit der Quotientenregel erhält man:
[mm] $$\partial_1 F_1(x) [/mm] = [mm] \frac{2x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}$$ [/mm]
[mm] $$\partial_2 F_1(x) [/mm] = [mm] -\frac{x_1^2-x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2} [/mm] = [mm] -\frac{x_1^2+x_2^2-2x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{x_1^2+x_2^2}+\frac{2x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}$$
[/mm]
[mm] $$\partial_3 F_1(x) [/mm] = 0$$ Du solltest allerdings dein Ergebnis für [mm] $\partial_2F_1(x)$ [/mm] überprüfen. Außerdem halte ich die Quotientenregel in diesem Fall für geeigneter als die Produktregel. Aber das ist ja bekanntlich Geschmackssache. 
Denke daran auch die anderen partiellen Ableitungen für [mm] F_2 [/mm] und [mm] F_3 [/mm] zu berechnen, da
$$div(F) = [mm] \nabla \cdot [/mm] F [mm] \mbox{ und } [/mm] rot(F) = [mm] \nabla\times [/mm] F.$$
MfG
Ladon
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