Partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Sa 12.09.2020 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Frage:
Ich habe eine stetige Funktion f(x,y) (z.B. f(x,y) = [mm] x^2 +2xy+y^2+4+4x+3y) [/mm] und ich möchte [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] berechnen.
Ist es korrekt dass ich mit jedem der beiden Verfahren zum Ziel komme?
1.) Funktion f partiell nach x ableiten und anschließend für x = y = 0 einsetzen.
2.) Zunächst f(x,0) berechnen (hier also [mm] f(x,0)=x^2+4+4x) [/mm] und dann die Funktion nach x ableiten und dann für x = 0 einsetzen.
Ist es nur Zufall dass in meinem Beispiel bei beiden Varianten der Wert 4 entsteht ? Oder ist das immer so ?
Danke für eure Antworten !
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 12.09.2020 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rubi!
Beide Methoden sind korrekt.
Mit Variante 1. untersuchst du Existenz und Wert von [mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$ [/mm] für $x:=0$ und $y:=0$.
Mit Variante 2. untersuchst du Existenz und Wert von [mm] $\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}$ [/mm] für $x:=0$.
Offenbar stimmen beide Ausdrücke überein.
Allgemeiner gilt:
Seien [mm] $i,n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $1\le i\le [/mm] n$.
Sei [mm] $D\subseteq\IR^n$ [/mm] eine beliebige Teilmenge und [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n)\in [/mm] D$. Wir definieren
[mm] $D_{i,x}:=\{a\in\IR\;|\;(x_1,\ldots,x_{i-1},a,x_{i+1},\ldots,x_n)\in D\}$
[/mm]
Sei [mm] $f\colon D\to\IR$ [/mm] ein beliebige Abbildung.
Dann ist $f$ genau dann partiell differenzierbar an der Stelle $x$ in der $i$-ten Koordinatenrichtung, wenn die Abbildung
[mm] $f_{i,x}\colon D_{i,x}\to\IR,\quad a\mapsto f(x_1,\ldots,x_{i-1},a,x_{i+1},\ldots,x_n)$
[/mm]
an der Stelle [mm] $x_i$ [/mm] differenzierbar ist und in diesem Fall lautet die i-te partielle Ableitung von $f$ in $x$ gerade [mm] $f_{i,x}'(x_i)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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