Partiell differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Gegeben seien die Menge
[mm] M\colon= \{ (x,y)^t \in \mathbb{R}^2 | \quad x=y \wedge x \neq 0\}
[/mm]
sowie die Funktion
f [mm] \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, [/mm] f(x,y) := [mm] \begin{cases}
e^x -1, & (x,y) \notin M\\
0, & (x,y) \in M
\end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
(1) $f$ ist genau dann in [mm] $(x,y)^t \in \mathbb{R}^2$ [/mm] partiell differenzierbar, falls [mm] $(x,y)^t \notin M$\\
[/mm]
(2) Die Richtungsableitung [mm] $D_v [/mm] f(0)$ von $f$ in $0$ existiert für jedes $v [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] mit [mm] $\left.\lVert v \right\rVert_2 [/mm] = 1$
(3) Es existiert ein $v [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] mit [mm] $\left.\lVert v \right\rVert_2 [/mm] = 1$ und [mm] $D_v [/mm] f(0) [mm] \neq \langle [/mm] v, grad f(0) [mm] \rangle$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | Gegeben sei das Polynom k-ten Grades
P [mm] \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, [/mm] P(x) := [mm] \sum\limits_{|\alpha|=k} c_{\alpha} x^{\alpha}
[/mm]
mit [mm] c _{\alpha} \in \mathbb{R}, [/mm] [mm] \alpha [/mm] = [mm] ( \alpha_1,\cdots,\alpha_n)^t \in \mathbb{N}_0^n
[/mm]
und x = [mm] (x_1,\cdots,x_n)t \in \mathbb{R}^n. [/mm] Beweisen Sie:
[mm] \beta \in\mathbb{N}_0^n
[/mm]
[mm] |\beta|= [/mm] k [mm] \Rightarrow [/mm] D P(x) = [mm] {\beta}!c_{\beta} : [/mm] |
Hallo an alle die mir helfen können und wollen,
das ist mein Ansatz zu Aufgabe 1:
[mm] D_1 f(x,y) :=& \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \\
[/mm]
[mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h,x)-f(x,x)}{h}\\
[/mm]
[mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{(e^{x+h}-1)-(e^x-1)}{h}\\
[/mm]
[mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{e^x e^h-e^x}{h}\\
[/mm]
[mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h}\\
[/mm]
[mm] := e^x \lim \limits_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}\\
[/mm]
[mm] := e^x [\frac{0}{0}]\\
[/mm]
[mm] := e^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{d}{dx} e^h-1}{\frac{d}{dx} h}\\ [/mm] Kann ich das so machen?
[mm] := e^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^h}{1}\\
[/mm]
[mm] := e^x
[/mm]
und das ist meine Ansatz zu Aufgabe 2:
[mm] \beta \in \mathbb{N}_0^n, \quad |\beta|=k
[/mm]
[mm] \Rightarrow D^{\beta} P(x) = D_1^{\beta_1} D_2^{\beta_2} \cdots D_n^{\beta_n} P(x)\\
[/mm]
[mm] = \frac{\partial^{|\beta|}}{\partial x_1^{\beta_1} \cdots \partial x_n^{\beta_n}} \sum\limits_{|\alpha|=k} c_{\alpha} x^{\alpha}\\
[/mm]
[mm] = \frac{\partial^{|\beta|}}{\partial x_1^{\beta_1} \cdots \partial x_n^{\beta_n}} \sum\limits_{|\beta|=k} c_{\alpha} x^{\alpha}\\
[/mm]
[mm] = \frac{\partial^{|\beta|}}{\partial x_1^{\beta_1} \cdots \partial x_n^{\beta_n}} c_{\alpha} x^{\alpha} \sum\limits_{|\beta|=k} 1\\ [/mm] Was passiert hier mit der Summe?
[mm] = \frac{\partial^{|\beta|}}{\partial x_1^{\beta_1} \cdots \partial x_n^{\beta_n}} c_{\alpha} x^{\alpha}\\
[/mm]
[mm] = c_{\beta} [/mm]
[mm] \left(
\frac{\partial^{\beta_1}}{\partial x_1^{\beta_1}} \cdots \frac{\partial^{\beta_n}}{\partial x_n^{\beta_n}}
\right)
[/mm]
[mm] \left(
x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}
\right)\\
[/mm]
[mm] = c_{\beta} [/mm]
[mm] \left(
\frac{\partial^{\beta_1}}{\partial x_1^{\beta_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\partial^{\beta_n}}{\partial x_n^{\beta_n}} x_n^{\beta_n}
\right)\\
[/mm]
[mm] = c_{\beta} ({\beta_1}! \cdots {\beta_n}!)\\
[/mm]
[mm] = {\beta}! c_{\beta}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo SashCrunk,
ich möchte jetzt nur Aufgabe 1 behandeln:
> Gegeben seien die Menge
> [mm]M\colon= \{ (x,y)^t \in \mathbb{R}^2 | \quad x=y \wedge x \neq 0\}[/mm]
>
> sowie die Funktion
> f [mm]\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},[/mm] f(x,y) :=
> [mm]\begin{cases}
e^x -1, & (x,y) \notin M\\
0, & (x,y) \in M
\end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> (1) [mm]f[/mm] ist genau dann in [mm](x,y)^t \in \mathbb{R}^2[/mm] partiell
> differenzierbar, falls [mm](x,y)^t \notin M[/mm][mm] \\[/mm]
> (2) Die
> Richtungsableitung [mm]D_v f(0)[/mm] von [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] existiert für jedes
> [mm]v \in \mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]\left.\lVert v \right\rVert_2 = 1[/mm]
>
> (3) Es existiert ein [mm]v \in \mathbb{R}^2[/mm] mit [mm]\left.\lVert v \right\rVert_2 = 1[/mm]
> und [mm]D_v f(0) \neq \langle v, grad f(0) \rangle[/mm]
> Hallo an alle die mir helfen können und wollen,
> das ist mein Ansatz zu Aufgabe 1:
>
> [mm]D_1 f(x,y) :=& \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \\[/mm]
>
> [mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h,x)-f(x,x)}{h}\\[/mm]
>
> [mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{(e^{x+h}-1)-(e^x-1)}{h}\\[/mm]
Dies gilt nur für $(x, [mm] y)\notin [/mm] M$ und $(x+h, y) [mm] \notin [/mm] M$.
> [mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{e^x e^h-e^x}{h}\\[/mm]
>
> [mm] := \lim \limits_{h \to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h}\\[/mm]
>
> [mm] := e^x \lim \limits_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}\\[/mm]
>
> [mm] := e^x [\frac{0}{0}]\\[/mm]
Dies ist nicht definiert. Beachte
[mm] $\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h} =\lim_{h\to 0} \frac{e^h-e^0}{h-0} =\exp'(0)=1$.
[/mm]
Die Definitionspunkte (:=) sind hier fehl am Platze.
Soviel erstmal.
Grüße,
Wolfgang
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